1、第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.理解命题的概念2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查
2、考生的逆向思维.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识 梳 理知识点一命题及四种命题1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题其中的语句叫真命题，的语句叫假命题判断真假判断为真判断为假2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性.相同无关知识点二充分条件与必要条件1.如果pq，那么p是q的，q是p的2如果pq且qp，那么p是q的充分条件必要条件充要条件对 点 自 测知识点一命题及四种命题1.命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若x
3、y是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析“xy是偶数”的否定为“xy不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”因此其逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案 C2(2014陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z134i，z243i，则有|z1|z2|，但是z1与z2不是共
4、轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假答案 B知识点二充分条件与必要条件3.(2014安徽卷)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 由ln(x1)0得1x0，故选B.答案 B4设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析“x2且y1”满足方程xy10，故“x2且y1”可推出“点P在直线l：xy10上”；但方程xy10有无数多个解，故“点P在直线l：xy10上”不能推出“x2且y1”，故“x2且y1”是“点P在直线l：xy1
5、0上”的充分不必要条件答案 A5已知p：4k0，q：函数ykx2kx1的值恒为负，则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 4k0k0，k24k0，函数 ykx2kx1 的值恒为负，但反之不一定有4k0，则x2xm0有实根”的逆否命题；“若x312是有理数，则x是无理数”的逆否命题ABCD听 课 记 录 中否命题为“若a0，则ab0”，正确；中逆命题不正确；中，14m，当m0时，0，原命题正确，故其逆否命题正确；中原命题正确故逆否命题正确答案 B【规律方法】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系
6、要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手变式思考 1(1)命题“若 4，则tan1”的逆否命题是()A若4，则tan1B若4，则tan1C若tan1，则4D若tan1，则4(2)以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命
7、题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价解析(1)命题“若4，则tan1”的逆否命题是“若tan1，则4”(2)对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案(1)C(2)考点二充分条件与必要条件的判断【例2】(1)给定两个命题p，q.若綈p是q的
8、必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点的”()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件听 课 记 录(1)由 q綈 p 且綈 p/q 可得 p綈 q 且綈 q/p，所以 p 是綈 q 的充分而不必要条件(2)由 sin0 可得 k(kZ)，此为曲线 ysin(2x)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线 ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件答案(1)A(2)A【规律方法】充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行
9、区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分变式思考 2(1)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2014聊城期末)设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是(UA)BU的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)若|ab|a|b|；若a，b中有零向量，显然ab；若a，b均不为零向量，则|ab|a|b|cosa，b|a|b|，|cosa，b|1，a，b或0.ab，即|ab|a|b|ab.若ab，则a，b0或，|ab|a
10、|b|cosa，b|a|b|，其中，若a，b有零向量也成立，即ab|ab|a|b|.综上知，“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件(2)如图所示，A B(UA)BU；但(UA)BU/A B，如 AB，因此 A B 是(UA)BU 的充分不必要条件答案(1)C(2)A考点三充分条件、必要条件的探求【例3】(1)若集合Ax|x2x20，Bx|2x2 Ba2Ca1 Da1(2)函数f(x)log2x，x0，2xa，x0有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0或a1 B0a12C.12a1 Da0听 课 记 录(1)Ax|1x2，Bx|2x1.(2)因为f(x)log2x，x0，2xa，x0
11、有且只有一个零点的充要条件为a0或a1.由选项可知，使“a0或a1”成立的充分条件为选项D.答案(1)C(2)D【规律方法】有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论变式思考 3(1)“直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()A1k3 B1k3C0k3 Dk3(2)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C(，0)12，D(，0)12，解析(1)“直线xyk0与圆(x1)2y22有两个
12、不同交点”等价于|10k|2 2，解得k(1，3)四个选项中只有(0,3)是(1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0k1，或a1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【规范解答】若 q1，则当 a11 时，anqn1，an为递减数列，所以“q1”/“an为递增数列”；若an为递增数列，则当 an12n 时，a112，q121”故选 D.【答案】D对应训练1(2014浙江卷)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 当ab1时，有(
13、1i)22i，即充分性成立当(abi)22i时，有a2b22abi2i，得a2b20，ab1，解得ab1或ab1，即必要性不成立，故选A.答案 A方法二：集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性具体对应关系如下：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则(1)若A B，则称p是q的充分不必要条件；(2)若B A，则称p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件当条件与结论能够用集合形式表示时，采用这种方法既将问题转变成了某两个集合的包含关系的判
14、断，又能将复杂问题简单化【典例2】(2014湖北卷)设U为全集A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【规范解答】如图可知，存在集合C，使AC，BUC，则有AB.若AB，显然存在集合C.满足AC，BUC.故选C.【答案】C对应训练2已知“命题p：(xm)23(xm)”是“命题q：x23x43(xm)x|(xm)(xm3)0 x|xm3，Qx|x23x40 x|(x4)(x1)0 x|4x0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【规范解答】綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件对于命题p，依题意知(2a)244(2a5)4(a28a20)0，2a10，令Pa|2a10，Qx|1mx1m，m0，由题意知P Q，m0，1m0，1m2，1m10，解得m9.因此实数m的取值范围是m|m9对应训练3已知条件p：|xa|0，且綈p是綈q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是()A(，1B1,6C2,7D(，16，)解析 由|xa|4，得a4x4a，即p：a4x0，得2x3，即q：2x3.若綈p是綈q的充分而不必要条件，则q是p的充分而不必要条件由此得a42，a43，解得1a6.答案 B
