1、北京市二十中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一选择题1. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -4B. 4C. -1D. 1【答案】C【解析】【分析】可求出，从而可得出，解出的值即可.【详解】由题意，向量，所以，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于容易题.2. 已知三条直线，满足：与平行，与异面，则与（ ）A. 一定异面B. 一定相交C. 不可能平行D. 不可能相交【答案】C【解析】【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，
2、再利用反证法结合平行公理即可得到与不可能平行.【详解】如图所示：与可能异面，也可能相交，不可能平行用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.故选：C.【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础题3. 已知锐角满足，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数间的基本关系求解.【详解】锐角满足，故选：D.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，属于基础题4. 已知是锐角，且，则为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 30或60【答案】B【解析】【分析】由题意
3、利用两个向量垂直的性质、数量积的坐标运算、特殊角的三角函数值可得出结论.【详解】，且，求得，由是锐角，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算、已知三角函数值求角.5. 在下列函数中，与函数的图象相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，即可得结论.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，所以 与函数的图象相同.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式及其应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，属于容易题.6. 2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已
4、知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A. 50米B. 57米C. 64米D. 70米【答案】D【解析】【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.【详解】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，则李华的行走路线，如图所示，在中，因为，由余弦定理可得：米，即李华回到自家楼下至少还需走70米.故选：D.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7.
5、 在中，是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量加减法法则中点的性质即可得出.【详解】解：是的中点，故选：A.【点睛】本题考查向量加减法则，考查数乘的意义属于基础题8. 已知函数的图象与函数的图象没有公共点，则实数的值可以为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】等价于方程无解，求出的值域，可得使无解的的范围，即得解.【详解】函数的图象与函数的图象没有公共点，即方程无解，也就是无解，设，则，即或.故选：D.【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数问题，考查方程的解的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 在中，则的取值范围（
6、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出，进而得出，而根据正弦定理可得出，然后即可得出的取值范围.【详解】解：，由正弦定理得，的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查正弦函数的性质，属于基础题10. 如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合正四棱锥性质，利用，代入数据直接计算即可.【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，连接、，设交点为点，连接，则平面，且，底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，设点到平面的距离为，由，即，解得故选：A.【点睛】本题考查求点到平面的距离，
7、考查正四棱锥的性质与棱锥的体积掌握正棱锥的计算是解题关键二填空题.11. 已知向量，则其夹角_.【答案】【解析】【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为向量，所以；所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 若，则可以为_.(写出一种即可)【答案】，或，答案从中任取一个即可.【解析】【分析】由题意利用二倍角的余弦公式求得，可得的值.【详解】，即，即，或，.故答案为：，或，答案从中任取一个即可.【点睛】本题主要考查的是三角函数的倍角公式，较简单.13. 已知，是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若，则；
8、且，则；若，则.所有正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】对于，由面面垂直的判定定理得；对于，或；对于，由线面垂直的性质得.【详解】解：由，是不重合的两条直线，为不重合的两个平面，知：对于，若，则由面面垂直的判定定理得，故正确；对于，若且，则或，错误；对于，若，则由线面垂直的性质得，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查线面平行与面面垂直的判定，线面垂直性质，掌握空间直线、平面的平行关系的判定方法是解题基础14. 已知函数(，)的图象如图所示，则的值为_.【答案】2【解析】分析】根据图象可得函数过点，代入解析式，计算可得值，再由五点法即可得值.【详解】解：由题意函数的图象过点，所以，.又由
9、“五点法”，故答案为：2.【点睛】本题考查由三角函数的图象求解析式，掌握正弦函数图象的“五点法”是解题关键15. 在 中，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围，再结合余弦定理可以用表示，求出的范围，进而求得的取值范围.【详解】解：在中，内角，的对边分别是，由题意得，即，令，所以，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的取值范围为.所以又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.三解答题16. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及的图象的对
10、称轴；（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数在一个周期内的图象.【答案】（1）最小正周期为，对称性，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用函数的周期性和对称性，求得的最小正周期和对称轴.（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象.【详解】解：（1），故它的最小正周期为，令，（2）由题意可得表格如下：00200图象如下：【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键17. 如图所示，在三棱锥中，点分别在棱上，且.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【
11、解析】【分析】（1）由，利用直线与平面平行的判断定理，证明平面.（2）推导出，从而平面，由此能证明平面平面.【详解】（1）在三棱锥中，点分别在棱上，且.平面，平面，平面（2），平面，平面平面平面.【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，较简单.18. 在中，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理，求角的余弦函数值，然后推出的大小；（2）直接利用三角形的面积公式求的面积.【详解】（1）在中，.（2）的面积，.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于基础题.19. 已知函数.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最
12、小值.【答案】（1）；（2）最大值2，最小值.【解析】【分析】（1）化简可得，即可求出值；（2）由，可得，于是可求出在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）因为，（2）由，可得，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值.【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.20. 已知中，.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求证：为的角平分线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出即可.（2）求出，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出和，即可判断.【详解】解：（1）在中，.所以.（2）证明：点在线段上，且，因为，所以，由
13、余弦定理,，解得,中，中，所以为的角平分线.【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.21. 已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使？若存在，求BF的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）通过证明和得平面，即证；（2）以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）平面，平面，底面为正方形，平面，平面，；（2）如图，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设，则，要使，则，解得，所以棱上是否存在点，使，此时；【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查向量法解决点的存在性问题，属于基础题.