1、4.1.2乘法公式与全概率公式第1课时乘法公式学 习 任 务核 心 素 养1掌握乘法公式及其推广(重点)2会用乘法公式求相应事件的概率(难点)1通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养2借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字09中的任意一个问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？提示知识点乘法公式及其推广(1)乘法公式：P(BA)P(A)P(B|A)，其中P(A)0(2)乘法公式的推广：设Ai表示事件，i1,2,3，且P(Ai)0，P(A1A2)0，则P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1
2、A2)其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)0)之间存在怎样的等量关系？提示P(AB)P(B)P(A|B)，其中P(B)01已知P(B|A)，P(A)，则P(AB)等于()A B C DCP(AB)P(B|A)P(A)，故选C2若P(B|A)，则P(|A)_P(|A)1P(B|A)1 类型1乘法公式及其应用利用乘法公式解决实际问题的一般步骤是什么？提示(1)判断该应用题是否可应用乘法公式求解；(2)根据已知条件表示出各事件的概率；(3)代入乘法公式求出所要求的概率【例
3、1】一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率解设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球” 由题设知P(A1)，P(A2|A1)，于是根据乘法公式， 有P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)1(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率解用A表示第一次取得黑球，则P(A)，用B表示第二次取得白球，则P(B|A)故P(AB)P(A)P(B|A)2(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率解用Bi表示第i次取得白球，i1,2，则B1B2表示事
4、件“两次取到的均是白球”由题意得P(B1)，P(B2|B1)P(B1B2)P(B1)P(B2|B1)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)求解即可.1某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为_0.72设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”因为P(A)1P()96%，P(B|A)75%，且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)P(AB)P(A)P(B|A
5、)0.960.750.72 类型2乘法公式的推广及应用【例2】设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为 试求透镜落下三次而未打破的概率解以Ai(i1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B123，故有P(B)P(123)P(1)P(2|1)P(3|12)该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)求解2在100件产品
6、中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率(结果保留两位有效数字)解设Ai表示“第i次取得次品”(i1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则B12A3，P(B)P(12A3)P(1)P(2|1)P(A3|12)0.046 类型3乘法公式的综合应用1P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系？提示P(B|A)P(|A)12若A1，A2，A3是互斥事件，且A1A2A3，则A1A2A3的对立事件与123相同吗？提示相同【例3】已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品但采购员不知有几件废品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件
7、是废品，则他拒绝购买这一批产品求采购员拒绝购买这批产品的概率思路点拨本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解解设Ai被抽查的第i件产品是废品，i1,2,3,4,5设A采购员拒绝购买，则AA1A2A3A4A5，从而12345，由题意，得P(1)，P(2|1)，P(3|12)，P(4|123)，P(5|1234)P()P(12345)P(5|1234)P(4|123)P(3|12)P(2|1)P(1)0.7 696故P(A)1P()0.2 304分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求
8、的复杂事件的概率.3某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率解设A1“第一次患病心肌受损害”，A2“第二次患病心肌受损害”， 则所求概率为P(12)由题意可知：P(A1)0.3，P(A2|1)0.6又P(1)1P(A1)0.7，P(2|1)1P(A2|1)0.4，所以P(12)P(1)P(2|1)0.70.40.281在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率
9、是()A0.665 B0.564 C0.245 D0.285A记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)0.7，P(B|A)0.95，所以P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.6652有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是_0.72设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB，则P(A)0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，所以P(AB)P(A)P(B|A)0.7234张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为_答案4已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，则两次均取到不合格球的概率为_法一：所求事件的概率P法二：用Ai表示第i次取到不合格球，i1,2则P(A1)，P(A2|A1)，P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)回顾本节内容，自我完成以下问题：你是如何理解乘法公式的？提示(1)乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想.(2)该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式.