1、2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷一选择题（共8小题）1“xx|log3（2x）1”是“xx|x1|1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要2已知复数z在复平面内对应的点都在射线y3x（x0）上，且|z|，则z的虚部为（）A3B3iC3D3i3在五边形ABCDE中，M，N分别为AE，BD的中点，则（）ABCD4衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）ABCD
2、5某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A144B72C36D246已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则等于（）ABCD7某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A2BCD18已知e2.71828是自然对数的底数，设a，b，cln2，则（）AabcBbacCbcaDcab二多选题（共4小题）（多选）9对于两条不同直线m，n和两个不同平面
3、，下列选项中正确的为（）A若m，n，则mnB若m，n，则mn或mnC若m，则m或mD若m，mn，则n或n（多选）10已知函数f（x），则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（f（）1Cf（x）是增函数Df（x）的值域为1，+）（多选）11提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列an：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）现将数列an的各项乘10后再减4，得到数列bn，可以发现数列b
4、n从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A数列bn的通项公式为bn32n2B数列an的第2021项为0.322020+0.4C数列an的前n项和Sn0.4n+0.32n10.3D数列nbn的前n项和Tn3（n1）2n1（多选）12定义在（0，+）上的函数f（x）满足2f（x）+xf（x），f（1）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在x处取得极大值，极大值为Bf（x）有两个零点C若f（x）k在（0，+）上恒成立，则kDf（1）f（）f（）三填空题（共4小题）13在二项式（13x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是 （用数字作答）14抛物
5、线C：x22py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y26x0截得的弦长为 15若直线y2x+与曲线yax相切，则a 16已知椭圆C：的两个焦点为F1（2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且6，则C的方程为 四解答题（共6小题）17已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+1+2Sn13Sn（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和Tn18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA（1）若a，c，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，a2，求ACD的面积192020年将全面建成小康社会，是党向
6、人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：K2，其中na+b+c+dP（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率为
7、了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC1，AC，（1）证明：平面A1BC平面ABB1A1；（2）若ACA1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积21在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线y21共顶点P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2
8、）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值22已知函数f（x）aexx2（aR）（其中e2.71828为自然对数的底数）（1）当a1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x0，+）恒成立，求实数a的取值范围2022-2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1“xx|log3（2x）1”是“xx|x1|1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【解答】解：由log3（2x）1得02x3，得3x20，得1x2，即A1，2），由|x1|1得1x1
9、1得0x2，即B0，2，则xA是xB的既不充分也不必要条件，故选：D2已知复数z在复平面内对应的点都在射线y3x（x0）上，且|z|，则z的虚部为（）A3B3iC3D3i【解答】解：因为复数z在复平面内对应的点都在射线y3x（x0）上，设za+3ai，aR，a0，所以|z|，解得a1，故复数z1+3i，所以z的虚部为3故选：A3在五边形ABCDE中，M，N分别为AE，BD的中点，则（）ABCD【解答】解：因为，M，N分别为AE，BD的中点，所以故选：C4衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶一天，
10、居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）ABCD【解答】解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，基本事件总数n6，其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件个数m3，则恰好有一袋垃圾投对的概率为P故选：D5某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A144B72C36D24【解答】解：由正六棱柱的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即BF，
11、BE，可得正六边形的底面边长为AB6214，则正六棱柱的底面积为S6，则此包装盒的体积为V故选：B6已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，f（x）的部分图象如图所示，若，则等于（）ABCD【解答】解：已知函数g（x）sin（x+），g（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到f（x）的图象，则f（x）sin（2x+），由，得|AB|BC|cosABC|AB|2，2|AB|BC|，cosABC，则ABC120，过B作BEx轴于E，则BE，AE3，即周期T12，即12，得，故选：A7某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥
12、所得截面面积的最大值为（）A2BCD1【解答】解：截面为SMN，F为MN的中点，设OFx（0x），所以SO1，故，所以当x1时，SSMN2，此时的截面面积最大故选：A8已知e2.71828是自然对数的底数，设a，b，cln2，则（）AabcBbacCbcaDcab【解答】解：已知e2.71828是自然对数的底数，a，b，cln2，设f（x），则f（x），当0x时，f（x）0，函数f（x）在0x上是增函数，当x时，f（x）0，函数f（x）在x上是减函数，af（3），bf（2），而23，所以ba，又因为exx+1，x1，为常用不等式，可得，令g（x）lnx，g（x），当xe时，g（x）0，函数g（
13、x）在xe上是减函数，故g（2）g（e）0，则ln2，即ln2，则cb，故：abc故选：A二多选题（共4小题）（多选）9对于两条不同直线m，n和两个不同平面，下列选项中正确的为（）A若m，n，则mnB若m，n，则mn或mnC若m，则m或mD若m，mn，则n或n【解答】解：由两条不同直线m，n和两个不同平面，知：对于A，若m，n且，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直，故A正确；对于B，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m，则由线面平行、面面平行的性质得m或m，故C正确；对于D，若m，mn，则由线面垂直的性质得n或n，故D正确故选：ACD（多选）10已知函数f（x）
14、，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（f（）1Cf（x）是增函数Df（x）的值域为1，+）【解答】解：函数f（x），其图像如图，由图可得，f（x）不是偶函数，也不是增函数，故AC错误，f（x）的最小值为1，无最大值，故值域为1，+），D正确，f（）cos（）0，f（f（）f（0）1，即B成立，故选：BD（多选）11提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列an：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以
15、天文单位AU为单位）现将数列an的各项乘10后再减4，得到数列bn，可以发现数列bn从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A数列bn的通项公式为bn32n2B数列an的第2021项为0.322020+0.4C数列an的前n项和Sn0.4n+0.32n10.3D数列nbn的前n项和Tn3（n1）2n1【解答】解：数列an各项乘10再减4得到数列bn：0，3，6，12，24，48，96，192，故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故选项A错误；所以，所以，故选项B错误；当n1时，S1a10.4，当n2时，当n1时，S10.4也适合上式，所以，故选项C正确；因为，所以当n
16、1时，T1b10，当n2时，Tnb1+2b2+3b3+nbn0+3（220+321+422+n2n2），则，所以可得，所以，又当n1时，T1也适合上式，所以，故选项D正确故选：CD（多选）12定义在（0，+）上的函数f（x）满足2f（x）+xf（x），f（1）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在x处取得极大值，极大值为Bf（x）有两个零点C若f（x）k在（0，+）上恒成立，则kDf（1）f（）f（）【解答】解：对A，2f（x）+xf（x），且 x（0，+），可得2xf（x）+x2f（x），可得：x2f（x），故x2f（x）lnx+c（c 为常数 ），f（1）0可得：12f（1）ln1+c，求
17、得：c0，故x2f（x）lnx，整理可得：f（x），x（0，+），f（x），当12lnx0，即lnxln，解得0x，f（x）0，此时 f（x） 单调递增，当12lnx0，即 lnxln，解得x，f（x）0，当12lnx0，即 lnxln，解得：x，f（x）0，此时 f（x） 单调递减，x，f（x） 取得极大值，f（），故A正确；对B，x0+，f（x）0，x，f（），x+，f（x）0，画出 f（x） 草图：如图：根据图象可知：f（x） 只有一个零点，故B说法错误；对C，要保证 f（x）k 在（0，+） 上恒成立，即：保证f（x）+k 在（0，+） 上恒成立，f（x），可得+k 在 （0，+） 上
18、恒成立，故只需 k，令G（x）+，G（x），当0x时，G（x）0，当x时，G（x）0，当x时，G（x）0，则G（x）maxG（），k，故C说法正确，对D，根据0x，f（x） 单调递增，x，f（x） 单调递减，1，可得f（1）f（），又f（），f（），f（2）f（），故f（1）f（）f（2）f（），故D说法正确综上所述，正确的说法是：ACD故选：ACD三填空题（共4小题）13在二项式（13x）n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是135（用数字作答）【解答】解：在（13x）n中，令x1得所有项的系数之和为（2）n，（2）n64，解得n6（13x）6的展开式的
19、通项为Tr+1（3）rC6rxr令r2得展开式中含x2项的系数是135故答案为13514抛物线C：x22py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2+y26x0截得的弦长为2【解答】解：抛物线C：x22py，其焦点到准线l的距离为4，可得p4，所以抛物线的准线方程为y2，圆x2+y26x0的圆心（3，0），半径为3，所以准线l被圆x2+y26x0截得的弦长为22，故答案为：215若直线y2x+与曲线yax相切，则a3【解答】解：设切点为（m，n），yax的导数为yx2a，可得切线的斜率为m2a，由切线的方程y2x+，可得m2a2，2m+m3am，解得a3，m1，故答案为：316已知椭圆C：
20、的两个焦点为F1（2，0）和F2（2，0），直线l过点F1，点F2关于l的对称点A在C上，且6，则C的方程为 【解答】解：因为A与F2关于直线l对称，所以直线l为AF2的垂直平分线，所以|AF1|F1F2|4，由椭圆的定义可得|AF2|2a4，设直线l与AF2交于点M，则M为AF2的中点，且，所以（）（）（2+3）2+333|，解得a3或1（舍去），所以a3，b2a2c25，则C的方程为：，故答案为：四解答题（共6小题）17已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+1+2Sn13Sn（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由题意，设等比数列
21、an的公比为q，则当q1时，Sn+1+2Sn1（n+1）a1+2（n1）a13n1，3Sn3na13n，Sn+1+2Sn13Sn，显然q1不符合题意，故q1，当q1时，Sn，Sn+1，Sn1，Sn+1+2Sn13Sn，+23，即1qn+1+2（1qn1）3（1qn），化简，得qn1（q2）（q1）0，q1且q0，q2，an12n12n1，nN*（2）由（1）知，Sn，Sn+1，则，Tnb1+b2+bn+118在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA（1）若a，c，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，a2，求ACD的面积【解答】解：（1）因为tanA，所以cosA，
22、由余弦定理得a2b2+c22bccosA7，即b23b40，解得b4或b1（舍），（2）因为，所以，因为CADBAD，所以，因为a2，由余弦定理得，故c2，所以SABC，ACD的面积SACD192020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区
23、有关超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：K2，其中na+b+c+dP（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X，求X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为（0.5+0.4+0.1）0.50.5，所以超过1.5万元的户数有1000.550户，又因为平
24、原地区家庭与山区家庭的户数之比为3：2，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区 40 20 60 山区 10 30 40总计 50 50100则K2，所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X0
25、），P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），所以X的分布列为：X 01234 P 因为X服从二项分布XB（4，），所以X的数学期望E（X）20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC1，AC，（1）证明：平面A1BC平面ABB1A1；（2）若ACA1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【解答】（1）证明：因为侧面BCC1B1是矩形，所以BCBB1，又因为BC1，AB2，AC，所以BC2+AB2AC2，所以BCAB，又ABBB1B，所以BC平面ABB1A1，又因为BC平面A1BC，所以平面A1BC平面ABB1A1；（2）解：取AA1的中
26、点M，连接CM，BM，因为ACA1C，所以CMAA1，又因为CB平面ABB1A1，所以BMAA1，且CMBMM，所以AA1平面BCM；因为CM2，所以BM，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为：VSBCMAA1BMBCAA11221在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线y21共顶点P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若，且，2，求的最大值【解答】解：（1）由题意得c1，a22（2分）故椭圆的方程为（3分）（2）因为P（0，1），F1（
27、1，0），所以PF1的方程为xy+10由，解得点Q的坐标为 （5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F0（6分）则解得所以圆的方程为（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得（10分）所以（12分）因为，所以，当且仅当，即1时，取等号最大值为 （14分）22已知函数f（x）aexx2（aR）（其中e2.71828为自然对数的底数）（1）当a1时，求证：函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的x0，+）恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）证明：a1时，f（x）exx2，f（x）ex2x，设g（x）f（x）ex
28、2x，则g（x）ex2，令g（x）0，解得：xln2，故g（x）在区间（，ln2）递减，在（ln2，+）递增，故g（x）的最小值是g（ln2）22ln2，即f（x）对任意xR恒成立，故函数f（x）图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意x0，+），ln（x+1）x，exx2+x+1，令h（x）ln（x+1）x，h（x）1，令h（x）0，解得：x0，故h（x）在区间（1，0）递增，在（0，+）递减，故h（x）h（0）0，故ln（x+1）x，令p（x）exx2x1，p（x）ex2xm（x），m（x）ex2，令m（x）0，解得xln2，故m（x）在区间（，ln2）递减，在区间（ln2，+）递增，故m（x）m（ln2）0，故p（x）0，p（x）递增，故p（x）p（0）0，故exx2+x+1，x0，+），f（x）ln（x+1）+cosx对于任意x0，+）恒成立，f（0）ln（0+1）+cos01，故a1，当a1时，f（x）ln（x+1）cosxaexx2ln（x+1）cosxexx2ln（x+1）cosxx2+x+1x2ln（x+1）cosxxln（x+1）+1cosxxx+1cosx1cosx0，即对于任意的x0，+）恒成立，综上，a的取值范围是（1，+）