1、双曲线 分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a_.解析b，c，2，a1.答案12若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为b，则由题意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.答案3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_解析由题意可知，解得答案14(2011湖南卷改编)设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a_.解析双曲线1的渐近线方程为3xay0与
2、已知方程比较系数得a2.答案25(2012苏州市自主学习调查)过椭圆1(ab0)的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线1的离心率为_解析由题意，得，即a24b24(c2a2)，所以5a24c2，e2，e.答案6(2012南京模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为_解析由题意知B，A(a,0)，F(c,0)，于是A是线段BF的中点，得c2a，c2a22ac，e22e10.又e1，所以e1.答案1二、解答题(每小题15分，共30分)7设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且
3、原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率解由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bxayab0.由原点到l的距离为c，得c.将b代入，平方后整理，得1621630.令x，则16x216x30，解得x或x.由e，得e，故e或e2.0ab，e，应舍去e，故所求离心率e2.8设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知，得c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a7，m3.所
4、以b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1PF214，PF1PF26，所以PF110，PF24.又F1F22，故cosF1PF2.分层训练B级创新能力提升1(2011天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_解析由题意得c.双曲线的焦距2c2.答案22(2012南京调研)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F2的面积是_解析由可解得又由F1F210
5、可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2PF1PF224.答案243. (2012苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x214(2013南京师大附中调研)过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析 如图，由题知OAAF，OBBF且AOB120，AOF60，又OAa，OFc，cos 60，2
6、.答案25(2012台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.M在双曲线上，9m26，m23，0.(3)解在F1MF2中，F1F24，且
7、|m|，SF1MF2F1F2|m|46.6(2010全国卷)已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切(1)解由题意知，l的方程为yx2，代入C的方程并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由M(1,3)为BD的中点，知1，故1，即b23a2，c2a，C的离心率e2.(2)证明由知，C的方程为3x2y23a2.A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1x20.故不妨设x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或a(舍去)故|BD|x1x2| 6.连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而MAMBMD，DAB90，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在A处与x轴相切过A、B、D三点的圆与x轴相切.