1、专题三 压轴解答题第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，如在14年中的14年江西卷理20题，文20题是中档题偏上，考查与直线的交汇、14年福建卷文21题，考查与抛物线有关的轨迹问题，14年浙江卷21题(14分)压轴题，难度中档偏上，考查与抛物线有关的最值问题的综合、14年全国大纲卷22题压轴题(14分)难度偏大，考查直线与抛物线、圆与抛物线有关的综合问题等等.预计在16年高考中解答题仍会重点考查直线与抛物线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相
2、交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物
3、线与圆锥曲线的交汇问题类型一 中点问题典例1已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】已知抛物线，过焦点且垂直轴的弦长为6，抛物线上的两个动点和，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点（1）求
4、抛物线方程；（2）试证线段的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求面积的最大值类型二 垂直问题典例2 已知抛物线C:的焦点为F，直线 交抛物线C于A、B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点（1）若直线AB过焦点F，求的值；（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线 连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（）求的值；（）过点的直线
5、与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.类型三 面积问题典例3 抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键【举一反三】如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值类型四 范围与定值
6、问题典例4已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C交于,两点，如图当直线与轴垂直时，（1）求抛物线C的方程；（2）已知点,设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】抛物线的准线过双曲线的一个焦点（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上任意一点设，求到与距离之和的最小值；以为切点的抛物线的切线与交于点，试问轴上是否存在定点，使在以为直径的圆上若存在，求
7、出点坐标，若不存在，说明理由【精选名校模拟】1. 已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围2已知抛物线，过点的直线交C于A，B两点，抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P（1）若直线的斜率为1，求；（2）求面积的最小值3 已知为抛物线的焦点，点为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且（1）求抛物线方程和N点坐标；（2）判断直线中，是否存在使得面积最小的直线，若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，说明理由。4. 已知抛物线： ，过焦点F的直线与
8、抛物线交于两点（在第一象限）XYOABF（1）当时，求直线的方程； （2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围5. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值6.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为（）求抛物线的方程；（）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证：直线恒过某一定点；（）分析（）的条件和结论，反思其解题过程，再对命题（）进行变式和推广请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）7.经过点且与直线相切
9、的动圆的圆心轨迹为点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点，ABCDOxylE（）求轨迹的方程；（）证明：；（）若点到直线的距离等于，且的面积为20，求直线的方程8.已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下依次与上述两曲线交于点（如图所示），（）求；（）作关于轴的对称点，求证： 三点共线；（）作关于轴的对称点，求到直线的距离的最大值9.在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点N到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点是否存在这样的，使得抛物线上总存
10、在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由11. 已知抛物线：与椭圆： 的一个交点为，点F是抛物线的焦点，且（1）求p，t，m的值；（2）设O为坐标原点，椭圆C2上是否存在点A（不考虑点A为的顶点），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线交于点B，直线AB交y轴于点E,满足OAEEOB?若存在，求点A的坐标；若不存在，说明理由12.已知点是抛物线的焦点（1）求抛物线方程；（2）若点为圆上一动点，直线是圆在点处的切线，直线与抛物线相交于两点（在轴的两侧），求平面图形面积的最小值13. 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：相切于点QxyOFPQ（）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（）当正数变化时，记S1 ，S2分别为FPQ，FOQ的面积，求的最小值14己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积15.已知抛物线的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P,Q且.（I）求点T的横坐标；（II）若以F1,F2为焦点的椭圆C过点.求椭圆C的标准方程；过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.