1、第一部分专题3 第1讲题型对应题号1.等差数列有关问题1,4,5,6,12,13,142.等比数列有关问题7,8,9,11,153.等差数列、等比数列的综合问题2,3,10,16 基础热身(建议用时：40分钟) 1在等差数列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为()A37 B36C20 D19A解析 因为ama1a2a99a1d36da37，所以m37.故选A项2(2019四川南充适应性考试)已知等比数列an中的各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则()A1 B1C32 D32C解析 因为等比数列an中的各项都是正数，设公比为q，得q0，且a1，a3,2a2成等差数
2、列，可得a3a12a2，即a1q2a12a1q，因为a10，得q22q10，解得q1或q1(舍)，则q232.故选C项3(2019山东德州期末联考)已知数列an为等差数列，且2a1，2,2a6成等比数列，则an的前6项的和为()A15 BC6 D3C解析 因为数列an为等差数列，且2a1，2,2a6成等比数列，所以a1,1，a6成等差数列，所以2a1a6，所以2a1a15d，即2a15d2，所以an前6项的和为S66a1d6a115d3(2a15d)6.故选C项4(2019广东六校联考)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()A14 B15C16 D17C解析
3、依题意，由a4a6a8a10a12120，得5a8120，即a824，所以a9a11(3a9a11)(a9a7a11a11)(a9a7)a82416.故选C项5(2019甘青宁三省联考)设Sn为等差数列an的前n项和，若a75，S555，则nSn的最小值为()A343 B324C320 D243A解析 因为解得所以Sn19n42n221n，所以nSn2n321n2，设f(x)2x321x2(x0)，f(x)6x(x7)当0x7时，f(x)7时，f(x)0，故nSn的最小值为f(7)343.故选A项6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1ancos，则S678()A0 B678C339
4、D340D解析 由已知可得，当n2k1(kN*)时，a2ka2k1；当n2k(kN*)时，a2k1a2kcos k，则a1a21，a3a40，a5a61，因此an中的项呈现一定周期性，S678S4169221692340.故选D项7(2019福建适应性练习)如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3：4.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为(参考数据：lg0.15)()A6个 B7个C8个 D9个B解析 记由外到内的第n个正方形的周长为an，则a141，a2
5、4，an4n1.所以a1a2an41413，解得nlog17.667，故可制作完整的正方形的个数最多为7个故选B项8(2019北京通州区模拟)设an是等比数列，且a2a4a5，a427，则an的通项公式为_.解析 设等比数列an的公比为q，因为a2a4a5，a427，所以a4a2q2q2q327，解得q3，所以a11，因此an3n1，nN*.答案 an3n1，nN*9已知等比数列an的公比不为1，设Sn是等比数列an的前n项和，S127S4，则_.解析 由题意可知S4，S8S4，S12S8成等比数列，则(S8S4)2S4(S12S8)，又S127S4，所以(S8S4)2S4(7S4S8)，可得
6、S6SS8S40，两边都除以S，得260，解得3或2，又1q4(q为an的公比)，所以1，所以3.答案 310已知数列an，bn满足a1b11，an1an2，nN*，则数列ban的前10项和为_解析 由a1b11，an1an2，可知an是首项为1，公差为2的等差数列，bn是首项为1，公比为2的等比数列，所以an1(n1)22n1，bn2n1，所以banb2n12(2n1)122n24n1，所以ban也为等比数列所以ba1ba2ba1014424349.答案 11在数列an中，a2an1anan2anan2，且a12，a25.(1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.解析
7、 (1)证明：因为a2an1anan2anan2，所以(an11)2(an1)(an21)，即.因为a12，a25，所以a113，a216，所以2，所以数列an1是以3为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知，an132n1，所以an32n11，所以Snn32nn3.12若数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nN*)，是否存在一个实数t，使数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由解析 (1)由a327,272a2231得a29，由92a1221，得a12.(2)假设存在实数t，使得bn为等差数列，则2b
8、nbn1bn1，即2(ant)(an1t)(an1t)，整理得4an4an1an1t，又4an42an2n1t14ant1，所以t1，故存在t1，使得数列bn为等差数列 能力提升(建议用时：25分钟) 13设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm14，则m()A3 B4C5 D6A解析 由等差数列的性质可知也是等差数列，所以，成等差数列，所以2，所以m3.故选A项14(2019广东六校联考)数列bnancos的前n项和为Sn，已知S2 0175 710，S2 0184 030，若数列an为等差数列，则S2 019_.解析 设数列an的公差为d，则a1cosa2cosa3cos
9、a4cosa5cosa6cos 2(a1a2)(a5a4)a3a6a3a6.由S2 0175 710，S2 0184 030，得5 710(a3a9a2 013)(a6a12a2 010a2 016)a2 017,4 030(a3a9a2 013)(a6a12a2 010a2 016)a2 017a2 018，两式相减可得a2 0183 360，由5 7101 008d(3 360d)，解得d4，则ana2 018(n2 018)44n4 712，可得S2 0194 030a2 0194 030(42 0194 712)666.答案 66615设Sn为数列an的前n项和，且满足2Sn3(an1
10、)(1)证明：数列an是等比数列并求Sn；(2)若bn4n5，将数列an和bn的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列dn，证明：dn是等比数列并求其通项公式证明 (1)a13，当n2时，anSnSn1(anan1)an3an1，故数列an是首项和公比均为3的等比数列，从而an3n，Sn(3n13)(2)易知d1a2b19，设ak3k是bn中的第m项，又是dn中的第n项，即dn3k4m5.因为ak13k13(4m5)4(3m3)3不是数列bn中的项，而ak23k29(4m5)4(9m10)5是bn中的第(9m10)项，所以dn1ak23k2，由9知dn是首项和公比均为9的等比数列，故dn
11、9n.16设数列an的前n项和为Sn，如果为常数，则称数列an为“幸福数列”(1)等差数列bn的首项为1，公差不为零，若bn为“幸福数列”，求bn的通项公式；(2)数列cn的各项都是正数，前n项和为Sn，若ccccS对任意nN*都成立，试问数列cn是否为“幸福数列”？并说明理由解析 (1)设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0，因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得故数列bn的通项公式是bn2n1.(2)由已知，当n1时，cSc.因为c10，所以c11.当n2时，ccccS，ccccS.两式相减，得cSS(SnSn1)(SnSn1)cn(SnSn1)因为cn0，所以cSnSn12Sncn.显然c11适合上式，所以当n2时，c2Sn1cn1.于是cc2(SnSn1)cncn12cncncn1cncn1.因为cncn10，所以cncn11，所以数列cn是首项为1，公差为1的等差数列所以不为常数，故数列cn不是“幸福数列”