1、4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值学 习 任 务核 心 素 养1理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值(重点)3会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题(难点)1通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养2借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按321的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？提示可对混合糖果定价为18243623(元/kg)知识点1均值或数学期望(1)定义：一般地，如果离散型随机变
2、量X的分布列如下表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn则称E(X)x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)(2)意义：它刻画了X的平均取值(3)性质：若X与Y都是随机变量，且YaXb(a0)，则E(Y)aE(X)b拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1p2nx2pnnxn因此n次试验中，X出现的平均值等于E(X)故E(X)p1x1p2x2pnxn1若随机变量X的分布列为X101P则E(X
3、)()A0B1C DCE(X)101故选C2设E(X)10，则E(3X5)_35E(3X5)3E(X)5310535知识点2两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)p(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np；(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即XH(N，n，M)，则E(X)3若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_；若随机变量YH(10,3,5)，则E(Y)_E(X)np4，E(Y) 类型1常见离散型随机变量的数学期望【例1】(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望
4、值为，则口袋中白球的个数为()A3 B4 C5 D2(2)某运动员投篮命中率为p0.6，则投篮1次时命中次数X的数学期望为_；重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为_(1)A(2)0.63(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为H(7,2，x), E()，x3故选A(2)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)0.6由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，则E(Y)np50.63常见的三种分布的均值1设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)p；(2)二项分布E(X)np2超几何分布E(X)，其中XH(N，n，M)熟练应
5、用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度1(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是_(2)设离散型随机变量X的分布列为P(Xk)C (k0,1,2，300)，则E(X)_(1)0.8(2)100(1)因为P(X1)0.8，P(X0)0.2，所以E(X)10.800.20.8(2)由P(Xk)C，可知XB，E(X)300100 类型2离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为X21012Pm若Y2X，则E(Y)_由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，E(X)(2)(1)012由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y
6、)2(变结论)本例条件不变，若aX3，且E()，求a的值解E()E(aX3)aE(X)3a3，所以a15若给出的随机变量与X的关系为aXb，a，b为常数.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E().也可以利用X的分布列得到的分布列，关键由X的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E().2已知随机变量和，其中127，且E()34，若的分布列如下表，则m的值为()1234PmnAB CDA因为127，则E()12E()7，即E()12734所以2m3n，又mn1，所以mn，由可解得m 类型3离散型随机变量的均值【例3】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出
7、活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值思路点拨(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值解只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P
8、(2)，P(3)，P(4)从而知的分布列为01234P所以E()01234离散型随机变量的数学期望的步骤(1)根据的实际意义，写出的全部取值(2)求出的每个值的概率(3)写出的分布列(4)利用定义求出数学期望其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识3盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望解X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1抽取次数X的分布列为X123PE(X)123 类型4离散型随机变量的均值实际应用1如果某篮球运动员的罚球命中率为0
9、.7，则其罚球10次大约能命中几个球？提示100.77个球2在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？提示随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值，故我们常用样本均值估计总体均值【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的
10、产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路点拨 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02故X的分布列为X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%1实际
11、问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论4甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9
12、环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)解(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35，所以P(X乙8)10.20.20.350.25同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35P(X甲9)0.30.350.65(2)因为E(X甲)70.280.1590.3100358.8，E(X乙)70.280.2590.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高1一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的
13、次数X的数学期望是()A0.83 B0.8 C2.4 D3CE(X)30.82.42有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是()An B(n1)C D(n1)C抽到的次品数XH(N，n，M)，抽到次品数的数学期望值E(X)3一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利()A39元 B37元 C20元 D元B设这台机器生产一件产品获利元易知随机变量的分布列为503020P0.60.30.1E()
14、500.6300.3(20)0.1374某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_0.4依题意得即解得y0.45已知E(X)，且YaX3，若E(Y)2，则a_3YaX3，E(Y)aE(X)3a32，a3回顾本节内容，自我完成以下问题：1如何理解离散型随机变量的均值？提示(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平(3)由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位2随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值