1、专题一 压轴选择题 第一关 以函数与方程、不等式相综合为背景的选择题【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数与方程以及不等式的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.【典例解剖】类型一 用函数与方程求解零点问题典例1设是定义在上的偶函数，对，都有，且当 时，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A（1,2） B（2，） C（1,） D 【答案】D【
2、名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题,利用周期性和偶函数正确作图以及判断短点函数值的大小是解题关键求解零点问题时，往往转化为的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解【举一反三】定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A B C D【答案】B.类型二 用函数与方程求解不等式问题典例2设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A B C D【答案】B【名师指点】结合已知条件构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解抽象不等式问题是解题关键【举一反三】己知定义在上的可导
3、函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意，我们构造函数则，因为，及所以，函数在上单调递减由为偶函数，得得，即不等式的解集为类型三 用构造法求解问题典例3设，且满足，则（ ）A.1 B.2 C.3D.4【答案】D.【名师指点】根据已知条件的特点，构造函数，利用函数性质解决问题是构造函数法蕴含的数学思想【举一反三】已知函数f(x)xsin x(xR)，且f(y22y3)f(x24x1)0，则当y1时，的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】先判断函数f(x)的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为两个函数值的大小关系，进
4、而利用单调性转化为自变量的大小关系，整理不等式，画出其表示的可行域，根据目标函数的几何意义和可行域的形状确定其取值范围f(x)(x)sin(x)(xsin x)f(x)，故f(x)为奇函数又f(x)1cos x0，所以函数f(x)在R上为单调递增函数不等式f(y22y3)f(x24x1)0可化为f(y22y3)f(x24x1)f(x24x1)，由函数f(x)为单调递增函数，可得y22y3x24x1，即x24x1y22y30，整理得(x2)2(y1)21.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(包括边界)所示取点P(1,0)，则表示的是可行域内任意一点(x，y)与P点连线的斜率类型四 关于复合方
5、程的解的问题典例4 已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则的取值范围是()A B C D【答案】A.【解析】设，则方程为，解得或，即或，如图，作出函数的图象，由函数图象，可知的解有两个，故要使方程恰有个不同的解，则方程的解必有三个，此时，的取值范围是【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值【举一反三】若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】A.【精选名校模拟】1.已知函数且有两个零点，则有（ ）A. B. C. D.的范围不确定【答案】A.2. 已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是A B
6、C D【答案】D【解析】先画出的图象，如图：根据题意互不相同，不妨设且f（a），即故由图象可知：，由二次函数的知识可知：即故的范围为选D3.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实m数拼的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A.4.已知是的一个零点，则()A， B， C， D， 【答案】C.【解析】在同一坐标系下作出函数，的图象，如图所示，由图象可知当时，当时，当，时，有，选C5.设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=( ).A.2 B.4或6 C.2或6 D.6【答案】A.6.已知是以为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是()A或 B
7、C或 D【答案】B.7已知函数满足，当时，若在区间内，曲线轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】设，则，又，所以函数的图象如图所示，当时，显然不合乎题意；当时，如图所示，当时，存在一个零点，当时，可得，则，若，可得，为减函数；若，可得，为增函数；此时必须在上有两个零点，解得8已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C.9若，是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C.10已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（
8、 ）A. B. C. D.【答案】A.11已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3）或； （4）且A3 B2 C1 D0【答案】A【解析】方程的根可化为：函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象如下：，由图象可得：（1）或；正确（2）且；正确（3）或；正确（4）且，不正确；故选A12已知定义在上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（ ）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D.13已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C14. 已知函数，（），对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】时，函数的值域为，时，的值域为，由题意，则有，又，故解得故选A