1、江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期学情检测（一）2021年4月24日数学试卷一、单选题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 设集合A、B是全集U的两个子集，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.设向量，则 A. B. C. 与的夹角为 D. 3.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小。已知复数，且(其中i是虚数单位，则复数A. B. C. D. 4.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期
2、间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）A. B. C. D. 5.某高中期中考试考查九个学科语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理，已知语文必须安排在首场，且物理与英语不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有A. 种B. 种 C. 种 D. 种6.已知函数，则的值不可能是A. B.
3、C. 0D. 27、已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为A. B. C. D.8.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）A. B. C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每
4、项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商10.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是 A. 角C一定为锐角B. C.D.的最大值为11.已知四边形ABCD是等腰梯形如图，将沿DE折起，使得如图，连结AC，AB，设M是AB的中点下列结论中正确的是 A. B. 点E到平面AMC的距离为C. EM /平面ACDD. 四面体ABCE的外接球表面积为12.阿基米德是伟大的
5、物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，以A，B为切点的切线交于P点则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有 A. 若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B. 若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为C. 若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值D. 一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则=_.14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东
6、岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳嵩山.某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字15，他让甲乙丙丁戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山；乙：4是衡山，2是嵩山；丙：1是衡山，5是恒山；丁：4是恒山，3是嵩山；戊：2是华山，5是泰山.老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是_.15.已知 若，则不等式的解集为_.若存在实数b，使函数有两个零点，则的取值范围是_16. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，且函数在
7、内恰有2021个零点，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列中，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由.18的内角，的对边分别为，已知（）求；（）已知，且边上有一点满足，求19如图，七面体的底面是凸四边形，其中，垂直相交于点O，棱，均垂直于底面.（1）证明：直线与平面不平行；（2）若，是线段（含端点）上的动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求动点的位置.20为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，通常需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射
8、到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，并用频率估计概率.（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？指标值指标值有抗体没有抗体（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；以（1）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率
9、，进行人体接种试验，记（n 100）个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数，并写出随机变量的分布列及数学期望.参考公式：，其中.0.150.100.0500.0100.0012.0722.7063.8416.63510.82821已知函数.（）（1）令，讨论的单调性并求极值；（2）令，若方程有两个实根，且，证明：22已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求面积的最大值；（3）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.江苏省前黄高级中学202
10、1届高三第二学期学情检测（一）参考答案2021.4.24一、 单选题12345678CDCACDCC二、 多选题9101112ABDBCDBDABC三、 填空题131415(1)15(2)16四、解答题17已知数列中，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由.【解】（1）因为为常数，且，所以是以1为首项、-1为公比的等比数列，.2分则，即；.4分（2）设存在满足条件，所以，所以，.6分当是奇数时，解得：，满足条件，.7分当是偶数时，此时无解，.8分所以满足条件，此时.10分18的内角，的对边分
11、别为，已知（）求；（）已知，且边上有一点满足，求【解】（）由可得：，又，得，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，所以.5分（）设，则，在中，由，及余弦定理可得：，所以，因为，可知，在中，即在中，即，得，.12分19如图，七面体的底面是凸四边形，其中，垂直相交于点O，棱，均垂直于底面.（1）证明：直线与平面不平行；（2）若，是线段（含端点）上的动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求动点的位置.【解】（1）假设平面，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，.2分又因为平面ABCD与两平面分别交于AD、BC，根据面面平行的性质定理可得，所以，.4分因为，所以，这与矛盾，所以
12、不平行平面.6分（2）答：P与F点重合（或者CP=1）. .7分理由如下：以O为坐标原点，建系如图所示的空间直角坐标系，由于垂直于底面，且是线段（含端点）上的动点，所以可设，且，所以，.8分设平面的法向量，由，可得，则，取，则，所以平面的一个法向量，.10分因此直线与平面所成的角（设为）的正弦值为，求得，则P与F点重合.12分20为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，通常需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射
13、疫苗后是否产生抗体相互独立，并用频率估计概率.（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？指标值指标值有抗体没有抗体（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；以（1）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记（n 100）个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数，并写出随机变量的分布列及数学期望.参考公式：，
14、其中.0.150.100.0500.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828【解】（1）指标值指标值有抗体50110没有抗体2020由.所以有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.3分（2）令事件小白鼠第一次注射疫苗产生抗体，事件小白鼠第二次注射疫苗产生抗体，事件小白鼠注射2次疫苗后产生抗体，记事件，发生的概率分别为，则，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率为0.9.7分，且，.8分由题意，最大，所以，且.9分解得，因为是整数且n 100，所以.10分因此，的分布列为，.11分数学期望；.12分21已知函数.（）（1）令，讨论的单调性
15、并求极值；（2）令，若方程有两个实根，且，证明：【解】（1）定义域：，因为所以，则，.1分x2-0+单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为，单调递增区间为极小值为，无极大值.4分（2）有两个实根，令，有两个零点，所以，则，.6分要证，只需证，即证，所以只需证由（1）（2）可得，只需证.8分设，令，则，所以只需证，即证令，则，即当时，成立.所以，即，即.12分22已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求面积的最大值；（3）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.【解】（1）由题：且，可得：，椭圆的标准方程为.2分（2）当直线的斜率不存在时，设，由于，得，解得或（舍去）.此时，的面积为.3分当直线的斜率存在时，设，与联立得：.由，得；且，.4分由于，得：.代入式得：，即或（此时直线过点，舍去）.5分，点到直线的距离为：.的面积为，将代入得：则的面积为.综上，面积的最大值为.7分（3）设直线方程为，联立得：.设的外接圆方程为：联立直线的方程的：方程为同解方程，所以：.8分又由于外接圆过点，则.9分从而可得到关于的三元一次方程组：，解得：.10分代入圆的方程为：.整理得：；所以，解得或（舍去）.的外接圆恒过一个异于点的定点.12分