1、小题狂练（19）一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、中的不等式即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法、指数不等式的解法和集合的运算，较简单.2.已知复数满足，其中为复数的共轭复数，则实数（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，代入已知等式，即可求得实数的值【详解】由题意得，所以，所以由，得，得故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况
2、及运算求解能力，属于基础题.3.若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.4.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当时，可排除AD；当时，可排除C，得到答案.【详解】当时，可排除AD；当时，可排除C.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.5.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义
3、判断即可.【详解】因为，所以由，得，所以，所以，则充分性成立；当时，但是无意义，故必要性不成立.综上，已知，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.6.已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由抛物线定义得，因此双曲线的渐近线方程为，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为
4、，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；1尺等于10寸；台体的体积）（ ）A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸【答案】A【解析】【分析】作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示:由
5、题意知,寸,寸,寸,寸,即是的中点,为梯形的中位线,寸,即积水的上底面半径为寸,盆中积水的体积为（立方寸）,又盆口的面积为（平方寸）,平均降雨量是寸,即平均降雨量是3寸,故选:A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算能力.8.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动若，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解.【详解】取的中点，连接、，连接、，如图：因
6、为正方体的棱长为2，所以,，平面，平面，平面，所以，所以，所以，由可得平面，所以，所以点的轨迹为线段，又,所以面积的最大值.故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ）.A.
7、2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；B. 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；C. 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；D. 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.【答案】AB【解析】【分析】根据条形图判断人数增减性，即可判断A；根据折线图判断同比增长率增减性，即可判断B； 根据折线图判断同比增长率,即可判断C；计算2016-2018年滑雪人数的增长率可判断D.【详解】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确
8、；根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C错误；2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为，故D错误；故选：AB【点睛】本题考查条形图与折线图、增长率，考查数据分析能力，属基础题.10.将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值为（
9、 ）A. B. C. 1D. 0【答案】BC【解析】【分析】由三角函数图象变换得出的解析式，然后由正弦函数性质求出的可能值，再判断各选项【详解】由题意，的最大值为3，最小值为1，因此，则，由得，又，所以，设，则，则当偶数（例如）时，1，当奇数（例如）时，1，故选：BC【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质解题关键是利用正弦函数性质得出的所有可能取值11.设双曲线的左，右焦点分别为，过的直线l分别与双曲线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则以下结论正确的是（ ）A. ；B. 双曲线C的离心率为；C. 双曲线C的渐近线方程为；D. 直线l的斜率为1.【答案】BC【解析】【分析】
10、由推导出，然后根据双曲线的定义推理判断各选项【详解】如图，作于，则，所以，所以是中点，从而，根据双曲线定义，所以，又以为直径的圆过，所以，于是，A错；又得，由余弦定理得，化简得，所以，B正确；由得，即，所以渐近线方程为，C正确；易知，所以，D错故选：BC【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查双曲线的离心率、渐近线方程，考查平面向量的数量积，解题关键是由数量积的关系得出等腰三角形，由双曲线的定义得出各线段长（用表示）本题属于中档题12.如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A. ；B. 存在某个位置，使；C. 若，则
11、的长是定值；D. 若，则四面体的体积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面垂直的性质判断A，B；取中点，可证明，从而可计算出，判断C；折叠过程中，不动，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大，从而计算出最大体积后判断D【详解】由，得平面，又平面，所以，A正确；若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，连接，正中，所以平面，而平面，所以，由选项A的判断有，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，B错；设是中点，连接，则，所以，从而，是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，边长为4，则，为定值，C正确；折叠过程中，不变，不动，当到平面距离最大时，四面体的
12、体积最大，由选项的判断知当平面时，到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为，D正确故选：ACD【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布，且，则 .【答案】【解析】试题分析：正态分布均值为，故.考点：正态分布14.若多项式，则_.【答案】【解析】【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为，令，解得，则，得解【详解】由展开式的通项为，令，解得，则，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展
13、开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平15.的内角的对边分别为，若，则_，的最大值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）由可得与的关系，即可求得的值；（2）利用诱导公式将用、表示，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】，；由于求的最大值，只需考虑的情况，所以，等号成立当且仅当.故答案为： ；.【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.16.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.【详解】，即.设.,.由，得；由，得或，函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示 当时，.又，且时，由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需满足，即.所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.