1、2015中等生百日综合提升篇专题四 立体几何解答题（理）空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系【背一背重点知识】1.用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.2.面面平行：证明两个平面的法向量平行；转化为线面平行，线线平行.3.用向量证明线面垂直的方法有：证明直线的方向向量与平行的法向量平行；利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直.4.面面垂直的证明发法：两个平面的法向量垂直；转化为线面垂直，线线垂直.【讲一讲提高技能】必备技能：1.
2、用向量证明空间中的平行关系设直线和的方向向量分别为和，则 (或与重合) .设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则或存在两个实数，使.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则l或l.设平面和的法向量分别为，则.2.用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1l2.0.设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则设平面和的法向量分别为和，则0.典型例题：例1如图，在四棱锥中，平面，（1）求证：平面；（2）求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 例2如图，正方形和四边形所在平面互相垂直，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小【答案】（
3、1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（2）证明：因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，且，所以平面如图，以为原点，建立空间直角坐标系则，所以，又，所以平面（3）由（2）知，是平面的一个法向量设平面的法向量，则，即，得，且令，则，从而故二面角为锐角，故二面角的大小为【练一练提升能力】1已知在四棱锥中，底面是矩形，且，平面，、分别是线段、的中点（1）证明： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值【解析】（）设平面的法向量为，由，得，令，得：设点坐标为，则，要使平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求 2.
4、 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点 （）证明：/平面； （）求二面角的平面角的余弦值； （）在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论 【解析】法二：（I）连接，交于，连接在中，为中位线，,/平面利用空间向量求空间角【背一背重点知识】1.求两条异面直线所成的角，设分别是直线的方向向量，则所成角为，的夹角为,则2.求直线与平面所成的角，设直线的方向向量为，平面的法向量为,直线与平面所成的角为，.3. 设是二面角的法向量，则的夹角大小就是二面角的平面角的大小，,再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小.【讲一讲提高技能】1.必备技能：用法向量求角（1）用法向量求二面角如图，
5、有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.（2）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者.2.典型例题：例1如图，在四棱锥中，底面是菱形，且点是棱的中点，平面与棱交于点（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解 例2如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面， ，为上一点
6、，且. （）求的长； （）求二面角的正弦值.分析：（）连结、,因为是菱形的中心，,以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长；.（）设平面的法向量为，平面PMC的法向量为，首先利用向量的数量积列方程求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式求出，进而求出二面角的正弦值.【解析】从而，即设，则因为，故即，所以（舍去），即.【练一练提升能力】1. 如图,在长方体中,点在棱AB上移动.（）证明:; （）当为的中点时,求点到面的距离; （）等于何值时,二面角的大小为.ABCDA1B1C1D
7、1E【解析】 2. 如图，四棱锥PABCD中，为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，E为PD点上一点，满足 (1)证明：平面ACE平面ABCD；(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小 EBACDP【解析】解答题（共10题）1.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点（1）证明:；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】 所以，直线与平面所成角的正弦值为；（3）向量，由点在棱上，设，故 ，由，得， 因此，解得，所以2. 如图，在四棱柱
8、ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，（）求证：CD平面ADD1A1；（）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值.【解析】（）以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 3. 如图，在直三棱柱中，平面 侧面且. （）求证：； （）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则 ，由平面侧面，且平面侧面，得，又平面， 所以. 因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. 又，从而侧面 ，又侧面，故. 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
9、且设，则， 设平面的一个法向量，由， 得： 令 ，得 ，则 设直线与所成的角为，则 得，解得，即 又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为.4. 在三棱柱中，侧面为矩形，是的中点，与交于点，且平面（1）证明：；（2）若，求直线CD与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】又平面， 5. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值【解析】 (2)由(1)知，设平面FAD的法向量为，平面的法向量为由得，因此可取由得故可取从而法向量
10、的夹角的余弦值为.故二面角正弦值为. 6. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，E、F分别是PB、CD的中点，且.（1）求证：；（2）求证：;（3）求二面角的余弦值.【解析】 （3）取的中点过作于点连结 则又平面 是二面角的平面角. 在中， 又,. 在中，可求得， 故二面角的余弦值为7. 直三棱柱中，分别是 的中点，为棱上的点（1）证明： ；（2）证明：；（3）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为中点【解析】试题解析：（1）证明：，又面又面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即
11、，则，所以； 8. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小【解析】 9. 如图1，直角梯形中，是底边上的一点，且现将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥且（1）求证：平面；（2）若是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（2）由（1）知：平面且，分别以为轴、 轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图：则10.在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，E是AD的中点，F是PC的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)求证：EF平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值【解析】 (2)取中点为，连接，则，又平面，平面，平面.
