1、南师附中20202021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，是平面内的四个点，满足，则（ ）ABCD 2已知正方形的边长为3，若，（ ）A3BC6D3已知平面向量，若，则实数（ ）ABC8D4已知，且，则（ ）ABCD 5若，则（ ）ABCD 6已知为正整数，且，则当函数取最大值时，（ ）ABCD7在中，则此三角形的形状为（ ）A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形8如图，在平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（ ）ABCD二、多项选择题:本大题共4小题，
2、共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分9已知复数z1=2+i，z2在复平面内对应的点在直线上，且满足是纯虚数，则（ ）AB C的虚部为D的虚部为210下列四个等式中正确的是（ ）AB CD11在中，角，所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）A若，则符合条件的三角形不存在B若，则为直角三角形C若，则D若，则12已知，（）那么下列结论正确的是（ ）A若的最小正周期是，则B若在内无零点，则C若在内单调，则D当时，直线是函数图像的一条对称轴三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是_
3、14_15如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西45，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则_海里，_16对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”集合相对常数的“余弦方差”是一个常数，则_四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在平面四边形中，（1）求；（2）若，求18（12分）已知平面向量， （1）若，且，求的坐标；（2）当为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围19（12分）已知平面向量，且 （1）求的值；（
4、2）若，且，求的值20（12分）在中，角，所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值21（12分）在中，角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围22（12分）在中，角，所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）求的最大值南师附中20202021学年度第二学期期中考试试卷高一数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1【答案】D【考点】平面向量的线性运算【解析】由题意可知，故答案选D2【答案】A【考点】平面向量是数量积运算【解析】由题意可知，在正方形中，且，所以，故答案选A3【
5、答案】D【考点】平面向量的坐标运算、模的求解【解析】由题意，所以，所以，故答案选D4【答案】C【考点】三角恒等变换构造角度或和差化积公式【解析】法一：因为，且，所以，即化简为，则，所以，故答案选C.法二：因为，所以由和差化积公式可得，又，所以，所以，所以，则，故答案选C.5.【答案】B【考点】三角函数的化简求值：半角公式的应用【解析】由题意可知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，则，故答案选B.6.【答案】C【考点】两角和与差的正切公式、三角函数的图象与性质综合应用【解析】由题意，因为，所以，所以，即，解得或（舍去），则，因为，所以，则当，时，函数取得最大值，故答案选C.7.【答案】C【考点
6、】正余弦定理的应用：判断三角形的形状【解析】法一：由题意可知，利用正弦定理可化简为，即，由余弦定理可得，即，同分化简可得，因式分解得到，因为，所以，即为直角三角形，故答案选C.法二：由题意可知，因为，所以，所以，所以，即，所以，所以，即为直角三角形，故答案选C.8.【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用【解析】由题意可知，在平行四边形中，因为，为的中点，所以，则存在实数使得，又因为，所以解得，故答案选A.二、多项选择题:本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9.【答案】BC【考点】复数的概念【解析】由题意可知，因为，可
7、得，又在复平面内对应的点在直线上，则可设，则，因为是纯虚数，所以，解得，所以，则，所以选项B、C正确，故答案选BC.10.【答案】AD【考点】三角恒等变换公式应用【解析】由题意可知，对于选项A，因为，所以，所以选项A正确；对于选项B，所以，所以选项B错误；对于选项C，所以选项C错误；对于选项D，所以选项D正确；综上，答案选AD.11.【答案】ABD【考点】利用正弦余弦定理判断三角形解的个数、判断三角形的形状、三角恒等变换公式在三角形中的应用【解析】由题意可知，对于选项A，若，则由正弦定理可得，所以符合条件的三角形不存在，所以选项A正确；对于选项B，若，则由正弦定理可得，即，在中，所以，则，解得
8、，则为直角三角形，所以选项B正确；对于选项C，若，可令，则，所以选项C错误；对于选项D，若，可得到，所以，则，则，即，所以选项D正确；综上，答案选ABD.12.【答案】BCD【考点】三角恒等变换、三角函数的图象与性质【解析】由题意可知，则对于选项A，若的最小正周期是，则的最小正周期为，所以，解得，所以选项A错误；对于选项B，因为，所以，若在内无零点，则，解得，所以，所以选项B正确；对于选项C，若在内单调，则，解得，则，所以选项C正确；对于选项D，当时，令，所以直线是函数图像的一条对称轴，所以选项D正确；综上，答案选BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】4-3i
9、【考点】复数与平面向量综合【解析】由题意可知，则对应的复数是.14.【答案】【考点】三角恒等变换：降幂公式、两角和与差的余弦公式【解析】法一：由题意，法二：由题意，令，则，则，得，所以，即.15.【答案】；【考点】解三角形在实际问题中的应用【解析】由题意可知，则在中，由余弦定理可得，所以海里，所以，则，所以.16.【答案】【考点】新情景问题下的三角恒等变换公式的应用【解析】由题意，当集合为时，相对常数的“余弦方差”，即常数，故答案为.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.【考点】正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用【解析】（1）在中，由正弦定理
10、可得，即，所以，因为，所以，所以；（2）由（1）知，则在中，由余弦定理可得，所以.18.【考点】平面向量的坐标运算、数量积计算等【解析】（1）设，因为，所以，因为，所以，解得：所以或；（2），因为与垂直，所以，解得：.（3）因为，所以，因为与的夹角为锐角，所以解得：且，即.19.【考点】平面向量的坐标运算、三角恒等变换、给值求角问题【解析】（1）因为，所以，所以.所以，.（2）因为，所以，因为，所以，所以.因为，所以.因为，且，所以，因为，所以，因为，所以.20.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换【解析】（1）由，且由余弦定理，得由，及余弦定理，得；（2）由（1）知，且，所以，代入，可
11、得.由（1）知，则为钝角，所以.所以，故.21.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求面积的范围问题【解析】（1）在中，由正弦定理可得，可化为，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以当，不符合题意，所以，又，所以，（2）由（1）知，且是锐角三角形，所以，解得，在中，由正弦定理可得，所以面积为，所以面积的取值范围为.22.【考点】正余弦定理的综合应用、三角恒等变换、求三角函数值或最值问题【解析】（1） 在中，因为，所以，又因为，所以，化简得，因为，所以等式两边同时除以，得到；（2）由题意.法一：因为，所以，令，则，当且仅当，即，解得或时取等号，所以的最大值为.法二：令,，则，令，则化为，所以的最大值为.