1、专题三 数列的解答题以等差数列和等比数列综合题【背一背重点知识】1.等差数列及等比数列的广义通项公式：2.一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列3. 等差数列及等比数列前n项和特征设法：【讲一讲提高技能】1. 必备技能：涉及特殊数列（等差数列或等比数列）一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比；由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算两次”的思想解决问题2. 典型例题：例1 等差数列的首项，其前项和为，且（）求的通项公式；（）求满足不等式的的值 【答案】（）；（）2，3，4【解析】因为，所以，即，所以 （）因为，
2、所以，所以，所以，解得，所以的值为例2在数列中，（）（1）求的值；（2）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）【解析】【练一练提升能力】1.在数列中，（1）若数列是等比数列， 求实数；（2）求数列的前项和.【答案】（1）或；（2）.【解析】 2.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【答案】(1) an (1)n1. (2) 最大项的值为，最小项的值为.【解析】解：(
3、1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q，故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.以求递推数列的通项公式和求和的综合题【背一背重点知识】1.2. 3. 4.求和方法：累加、累乘、裂项相消、错位相减【讲一讲提高技能】1.必备技能：会由与的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列），进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n项的和.2.典型例题：例1已知数列的前项和.（）求的值；（）求证：；（）判断数列是否为等差数列
4、，并说明理由.【答案】（）;（）详见解析;（）数列是等差数列.【解析】 所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列. 13分例2 数列的首项,求数列的通项公式；设的前项和为,求的最小值.【答案】(1)；（2）.【解析】【练一练提升能力】1在数列 中，已知 ，为常数. (1)证明: 成等差数列; (2)设 ，求数列 的前n项和 ；（3）当时，数列 中是否存在三项 成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 详见解析，(2) 当，当（3）不存在【解析】故，成等差数列4分2设数列为等差数列，且，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式;（2）若,为数列的前项和
5、，对恒成立，求的最小值【答案】（1） ， ；（2）m的最小值是.【解析】又，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是 5分（2） 6分 8分两式相减得 9分所以 11分从而 对恒成立， m的最小值是 解答题（共10题）1. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）详见解析【解析】 ，前项和，2. 设为数列的前项和，已知，对任意，都有（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）详见解析【解析】因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数所以当时，取最小值所以3. 设数列的各项均
6、为正数，它的前项和为，点在函数的图像上；数列满足，其中（）求数列和的通项公式；（）设，求证：数列的前项和【答案】（）；（）见解析【解析】两式相减得：，4. 已知数列中，在之间插入1个数，在之间插入2个数，在之间插入3个数，在之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列.（1）若，求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足为常数），求的通项公式.【答案】（1）.（2）【解析】（法一）当，常数恒成立，又为正项等差数列， 当时，不为常数，则得， 11分代入式，得. 12分（法二）,，即， 则对2恒成立， 令，得 解得 11分5. 设数列的前项和，且是的等差中项
7、（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）已知与的关系求通项公式，一般是利用化关系式为的关系，从而得得是等比数列，通项公式可得；（2）数列是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前项和只能用错位相减法求得 6.设数列的前n项和为已知（）设证明：数列是等比数列；（）证明：.【解析】（） 2分当时， 5分又数列是以2为首项，公比为2的等比数列。 6分（）由（）知 9分=12分7.已知数列中，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（3），8.已知数列的
8、前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令， ，求.【答案】（1）；（2）.【解析】 9.已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.求的值及对应的数列.记为数列的前项和,问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.【解析】 2当时,则由,得,因为,所以满足恒成立;但当时,存在,使得即, 所以此时满足题意的最大正整数 10. 已知数列（，）满足， 其中，（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由【答案】（1），（2）详见解析，不存在【解析】