1、模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i是虚数单位，则的虚部是()Ai Bi C DCi.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c4，a4，A45，则sin C等于()A B C DA由正弦定理得sin Cc4.3已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列选项不一定成立的是()AABm BAC CAB DACmBm，m，l，ml，又ABl，ABm，则A一定成立ACl，ml，ACm，则D一定成立ABl，AB，l，AB，则C一定成立若C且AC
2、，l，ACl，平面平面，AC，则B不一定成立故选B4已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10B因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.5复数的共轭复数为()Ai BiCi DiD因为i，所以其共轭复数为i.故选D6在ABC中，若lg alg clg sin Blg ，且B，则ABC的形状是()A等边三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D直角三角形Clg alg clg sin Blg ，
3、sin B，sin B.B，B，sin Csin Asin，cos C0.C(0，)，C，ABC，ABC是等腰直角三角形故选C7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有()APC1与AA1异面BPC1与A1A垂直CPC1与平面AB1D1相交DPC1与平面AB1D1平行D连接BC1和DC1(图略)，因为BDB1D1，AB1DC1，所以平面AB1D1平面C1BD，而PC1平面C1BD，所以PC1平面AB1D1.选D8已知三棱锥PABC的各棱长均相等，O是ABC的中心，D是PC的中点，则直线PO与直线BD所成角的余弦值为()A B C DA设底面边长为a，连接CO并
4、延长交AB于F，过点D作DEPO交CF于点E，连接BE，则BDE即PO与BD所成角，因为PO平面ABC，所以DE平面ABC，所以BDE是直角三角形，设三棱锥PABC的各棱长均为a，则，BDCFa，COBDa，所以POa，因为点D为侧棱PC的中点，所以DEPOa，所以cosBDE，则直线PO与直线BD所成角的余弦值为.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是()A若abc2，则CB若ab2c，则CC若(ab)c2ab，则CD若
5、(a2b2)c22a2b2，则CAB对于A，由余弦定理有cos C，因为C为三角形的内角，所以C，故A正确；对于B，因为ab2c，所以(ab)24c2，c2，由余弦定理有cos C，因为C为三角形的内角，所以C，故B正确；对于C，取ab2，c1，满足(ab)c2ab，因为cos C0，所以C，故C错误；对于D，取ab，c1，满足(a2b2)c22a2b2，因为cos C0，所以C，故D错误故选AB10下列各式的运算结果不是纯虚数的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)ABDA项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C
6、项，(1i)212ii22i，是纯虚数D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数11已知，是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是()A若，l，则lB若l，l，则C若l上有两个点到的距离相等，则lD若，则BD对于A，由，l，得l或l，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面相交于直线m，根据线面平行的性质，知ml，又l，则m，又m，所以，故B正确；对于C，l还可能与相交，故C错误；对于D，在平面内作与和的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m，再过直线m作平面，并与平面相交于直线n，根据面面平行的性质，知mn，所以n，又n，所以，故D正确12在实数集R中，我们定义的大小关系“
7、”为全体实数排了一个“序”类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，a2，b1，b2R)，当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”时，z1z2.按上述定义的关系“”，下列命题为真命题的是()A若z1z2，则|z1|z2|B若z1z2，z2z3，则z1z3C若z1z2，则对于任意zC，z1zz2zD对于复数z0，若z1z2，则zz1zz2BC对于复数z12i，z213i，显然满足z1z2，但|z1|，|z2|，不满足|z1|z2|，故A为假命题；设z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i(a1，a2，
8、a3，b1，b2，b3R)，由z1z2，z2z3可得“a1a3”或“a1a3且b1b3”，即z1z3，故B为真命题；设z1a1b1i，z2a2b2i，zabi(a1，a2，a，b1，b2，bR)，由z1z2可得“a1a2”或“a1a2且b1b2”，显然有“a1aa2a”或“a1aa2a且b1bb2b”，从而z1zz2z，故C为真命题；对于复数z12i，z213i，显然满足z1z2，令z1i，则zz1(1i)(2i)13i，zz2(1i)(13i)42i，显然不满足zz1zz2，故D为假命题故选BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知实数a，b满足abi
9、i2 019(i为虚数单位)，则ab的值为_1由i1i，i21，i3i，i41，所以abii2 019(i4)504i3i，得a0，b1.ab1.14已知在ABC中，AC4，BC2，BAC60，ADBC于点D，则的值为_6在ABC中，AC4，BC2，BAC60，由余弦定理得cos 60，解得AB6或2(舍去)因为RtADB与RtADC有公共边AD，所以62BD242(2BD)2，解得BD，所以CD，所以6.15中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的
10、多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_(本题第一空2分，第二空3分)图1图2261依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则xxx1，解得x1，故题中的半正多面体的棱长为1.16定义复数的一种运算z1|z1|z2|,2)(等式右边为普通运算)若复数zabi，为z的共轭复数，且正实数a
11、，b满足ab3，则z*的最小值为_由题意可得z*.正实数a，b满足ab3，b3a，当a时，z*取得最小值，为.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值解z1i.因为z2azb(1i)2a(1i)b2iaaib(ab)(2a)i1i，所以解得18(本小题满分12分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE平面P
12、BC试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC由底面ABCD为长方形，得BCCD而PDCDD，所以BC平面PCD又DE平面PCD，所以BCDE.因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC而PCBCC，所以DE平面PBC由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1S长方形A
13、BCDPDBCCDPD由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.19(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面积解(1)由余弦定理，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4.联立方程解得(2)由正弦定理，已知条件可化为b2a.联立方程解得所以ABC的面积Sabsin C.20(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF平面AEB，A
14、EEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求多面体ADBEG的体积解(1)证明：ADEF，EFBC，ADBC又BC2AD，G是BC的中点，ADBG，四边形ADGB是平行四边形，ABDG.AB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG.(2)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，EFAE.又AEEB，EBEFE，EB，EF平面BCFE，AE平面BCFE.过D作DHAE交EF于H，连接BH，EG，则DH平面BCFE.EG平面BCFE，DHEG.ADEH，DHAE，四边形AEHD为平行四边形，EHAD2，EHB
15、G2，又EHBG，EHBE，BE2，四边形BGHE为正方形，BHEG，又BHDHH，BH平面BHD，DH平面BHD，EG平面BHDBD平面BHD，BDEG.(3)EF平面AEB，ADEF，AD平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，BEBCVADBEGVDAEBVDBEGSABEADSBEGAE.21(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距1
16、0 n mile.问乙船每小时航行多少海里解如图所示，连接A1B2.因为A2B210，A1A23010，所以A1A2A2B2.又因为A1A2B218012060，所以A1A2B2是等边三角形所以A1B2A1A210.又因为A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.所以B1B210.所以乙船的速度为30(n mile/h)即乙船每小时航行30 n mile.22(本小题满分12分)如图，三棱锥PABC中，PC，AC，BC两两垂直，BCPC1，AC2，E，F，G分别是AB，AC，AP的
17、中点(1)证明：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值；(3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值解(1)证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EFBC，GFCP.因为EF平面PCB，GF平面PCB，所以EF平面PCB，GF平面PCB又EFGFF，所以平面GFE平面PCB(2)如图，过点C作CHPA，垂足为H，连接HB因为BCPC，BCAC，且PCACC，所以BC平面PAC，所以BCPA又PACH，CHBCC，所以PA平面BCH，所以HBPA，所以BHC是二面角BAPC的平面角，依条件容易求出CH，所以tanBHC，所以二面角BAPC的正切值是.(3)如图，设PB的中点为K，连接KC，AK.因为PCB为等腰直角三角形，所以KCPB又ACPC，ACBC，且PCBCC，所以AC平面PCB，所以ACPB又PBKC，ACKCC，所以PB平面AKC又PB平面PAB，所以平面AKC平面PAB在平面AKC内，过点F作FMAK，垂足为M.因为平面AKC平面PAB，所以FM平面PAB连接PM，则MPF是直线PF与平面PAB所成的角易得PF，FM，所以sinMPF，即直线PF与平面PAB所成角的正弦值是.