1、第2讲数列求和及综合应用(限时50分钟，满分96分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019邯郸二模)设an是公差为2的等差数列，bna2n，若bn为等比数列，则b1b2b3b4b5A142B124C128D144解析因为an是公差为2的等差数列，bna2n，所以ana1(n1)2a12n2，因为bn为等比数列，所以bb1b3.所以(a4)2a2a8，所以(a182)2(a142)(a1162)，解得a12，所以bna2n222n22n1，所以b1b2b3b4b52223242526124.答案B2已知等差数列an的前n项
2、和为Sn，且a11，S3a5.令bn(1)n1an，则数列bn的前2n项和T2n为An B2n Cn D2n解析设等差数列an的公差为d，由S3a5，得3a2a5，3(1d)14d，解得d2，an2n1，bn(1)n1(2n1)，T2n1357(4n3)(4n1)2n.选B.答案B3(2019河南南阳一中模拟)已知数列an满足：当n2且nN*时，有anan1(1)n3，则数列an的前200项的和为A300 B200 C100 D50解析由题意当n2且nN*时，有anan1(1)n3，可得到a2a13，a4a33，a6a53，a200a1993，所以数列an的前200项的和为(a2a1)(a4a
3、3)(a6a5)(a200a199)300.故选A.答案A4(2019东营二模)设数列an的前n项和为Sn，若a14，则an12Sn4，则S10等于A2(3101) B2(3101)C2(391) D4(391)解析因为a14，an12Sn4，所以a22a144，当n2时，an2Sn14，得an1an2an，an13an，所以an从第二项起构成公比为3的等比数列，S10a1(a2a3a10)42(391)故选C.答案C5(2019山东师大附中模拟)已知数列an满足an2an1an1an，nN*，且a5，若函数f(x)sin 2x2cos2，记ynf(an)，则数列yn的前9项和为A0 B9 C
4、9 D1解析由已知可得，数列an为等差数列，f(x)sin 2xcos x1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2419，即数列yn的前9项和为9.答案C6(2019日照高三校际联考)已知数列an中，a11，且对任意的m，nN*，都有amnamanmn，则等于A. B. C. D.解析因为a11，且对任意的m，nN*，都有amnamanmn，所以令m1，则an1a1annann1，即an1ann1，所以anan1n(n2)，a2a12，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n
5、1)(n2)321，所以2，所以22.故选D.答案D7(2019惠州模拟)已知数列an的通项公式为anlog(n1)(n2)(nN*)，我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在(0，2 018内的所有“优数”的和为A1 024 B2 012 C2 026 D2 036解析a1a2a3anlog23log34log45log(n1)(n2)log2(n2)k，kZ，令0n2k22 018，则22k2 020，1k10，所有“优数”之和为(222)(232)(2102)18211222 026.故选C.答案C8(2019鹰潭模拟)数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，已知1，且
6、a1，则tan Sn的取值集合是A0， B.C. D0，解析1，na(n1)aanan1，nan1(n1)an(an1an)0.又anan10，nan1(n1)an0，即.ann，数列an是首项为，公差为的等差数列Sn.tan Sntan.当n3kN*时，tan Sntan0；当n3k1N*时，tan Sntan0；当n3k2N*时，tan Sntan.综上可得，tan Sn的取值集合是0，故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9(2019抚顺二模)已知数列an是等比数列，其公比为2，设bnlog2an，且数列bn的前10项的和为25，那么的值为_解析数列an是等比数
7、列，其公比为2，设bnlog2an，且数列bn的前10项的和为25，所以b1b2b10log2(a1a2a10)log2(a2129)25，所以a245225，可得a1.那么44.答案10(2019天津七校联考)设Sn为数列an的前n项和，a10，若an11(1)nan(2)n(nN*)，则S100_解析因为a10，an11(1)nan(2)n，所以a22，a32a240，a48，a52a4(2)40，a632，a72a6(2)60，所以数列an的奇数项为0，偶数项构成首项为2，公比为4的等比数列，所以S100.答案11(2019烟台三模)在数列an中，a1，an(n2，nN*)，设bn，Sn
8、是数列bn的前n项和，则16Sn_解析a1，an(n2，nN*)，aa2，a2，a是以2为首项，以2为公差的等差数列，a2n，bn，由裂项相消法可得Sn，则16Sn1.答案12(2019淮南二模)已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且a2a1，S4a128，a32是a2，a4的等差中项，若数列的前n项和TnM恒成立，则M的最小值为_解析设等比数列an的公比为q，因为S4a128，a32是a2，a4的等差中项，所以解得或因为a2a1，所以a24，q2.所以an2n，Sn2n12，所以，所以Tn，所以M的最小值为.答案三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)13(2019广西三
9、市二调)已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn4n31(R)(1)求an的通项公式；(2)设bnlog21，求数列的前n项和Tn.解析(1)由Sn4n31，得Sn14n131(n2)，所以anSnSn134n1(n2)，当n1时，a1S11，4，所以an是以1为首项，4为公比的等比数列因为4，所以，所以an4n1.当n1时，a1，符合上式所以an4n1.(2)由(1)知bnlog21log212n.所以.Tn，Tn.得Tn1，所以Tn.14设等差数列an的前n项和为Sn，且a28，S440.数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn30，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设
10、cn求数列cn的前n项和Pn.解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意，得解得所以an4n，因为Tn2bn30，所以当n1时，b13，当n2时，Tn12bn130，两式相减，得bn2bn1(n2)，则数列bn为等比数列，所以bn32n1.(2)cn当n为偶数时，Pn(a1a3an1)(b2b4bn)2n1n22.当n为奇数时，解法一n1为偶数，PnPn1cn2(n1)1(n1)224n2nn22n1，解法二Pn(a1a3an2an)(b2b4bn1)2nn22n1.所以Pn15(2019淮南二模)设数列an的前n项和为Sn，如果为常数，则称数列an为“幸福数列”(1)等差数列bn的首项为1，
11、公差不为零，若bn为“幸福数列”，求bn的通项公式；(2)数列cn的各项都是正数，其前n项和为Tn，若ccccT对任意的nN*都成立，试推断数列cn是否为“幸福数列”？并说明理由解析(1)设等差数列bn的公差为d(d0)，其前n项和为Bn，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意正整数n上式恒成立，则解得故数列bn的通项公式是bn2n1.(2)由题意知，当n1时，cTc.因为c10，所以c11.当n2时，ccccT，ccccT.两式相减，得cTT(TnTn1)(TnTn1)cn(TnTn1)因为cn0，所以cTnTn12Tncn.显然c11适合上式，所以当n2时，c2Tn1cn1.于是cc2(TnTn1)cncn12cncncn1cncn1.因为cncn10，所以cncn11，所以数列cn是首项为1，公差为1的等差数列，所以cnn，Tn.所以不为常数，故数列cn不是“幸福数列”