1、2016艺体生文化课-百日突围系列双曲线的定义与标准方程【背一背基础知识】1双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距双曲线的定义用符号语言表示：2双曲线的标准方程(1)焦点在轴上的双曲线的标准方程：，焦点(2) 焦点在轴上的双曲线的标准方程：，焦点其中几何意义：表示实轴长的一半，表示虚轴长的一半，表示焦距长的一半并且有(3)当时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为或【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）高考中对于双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的定义、标准方程、焦点坐标、离心率以及渐近线
2、方程等基础知识；（2）求双曲线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定双曲线的焦点在x轴还是y轴上“定式”就是根据“形”设出双曲线的具体形式，若焦点在x轴上，则设方程为；若焦点在y轴上，则设方程为；若焦点位置不确定，可设方程为“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数或2典型例题例1设双曲线的两个焦点为，一个顶点是，则的方程为 【答案】【解析】由题意知：，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以C的方程为例2已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|P
3、F2|的值为_【分析】利用已知条件结合双曲线的定义与勾股定理求解【方法总结】双曲线定义的应用：(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线；(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化【练一练趁热打铁】1设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2| ()A1 B17 C1或17 D以上答案均不对【答案】B 【解析】由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|172已知是双曲线（）的一个焦点，则 【答
4、案】【解析】由题意知，所以.【考点定位】双曲线的焦点.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（， ）的左焦点，右焦点，其中3设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于 (）A4 B8 C24 D48【答案】C双曲线的几何性质【背一背基础知识】双曲线的简单几何性质以为例图1(1)范围：；(2)对称性：对称轴为轴、轴，对称中心为；(3)顶点：实轴长，虚轴长；(4)离心率，越小，双曲线越扁；e越大，双曲线
5、越开阔(5) 双曲线的渐近线方程：总结可得如下表格：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程定义到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即范围或，或，顶点、轴长实轴的长，虚轴的长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、焦距离心率渐近线方程焦点三角形面积【讲一讲基本技能】1必备技能：（1）与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为；（2）等轴双曲线的离心率，渐近线方程为2典型例题例1下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程
6、时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.例2双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）A2 B C4 D【答案】C例3若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4）， 故选D.【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线共渐近线的可设为；(2)若渐近线方程为，则可设为；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于
7、虚半轴长；(4) 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.【方法总结】求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题另外，需注意双曲线的离心率e大于1，防止产生增解【练一练趁热打铁】1已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D【考点定位】圆与双曲线的性质及
8、运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.2若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A实半轴长相等 B虚半轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【答案】D【解析】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此两双曲线的焦距相等，故选D3已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx Byx Cyx Dyx【答案】C4过双曲线的右顶
9、点作轴的垂线与的一条渐近线相交于若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过则双曲线的方程为（ ）A. B C D【答案】A【解析】因为的渐近线为，所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形，即双曲线的方程为（一） 选择题（12*5=60分）1双曲线的离心率为 （ ）A B C D【答案】B【解析】把双曲线的方程化为标准形式：故选B2已知双曲线的一个焦点在圆上,则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B3过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D【答案】A【解析】，又4若双曲线的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为（ ）A
10、BC D【答案】A【解析】设双曲线的焦距为，则，在直线方程中，令，解得，即直线与轴交于点，则有，故双曲线的渐近线方程为，即，即5若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【考点定位】双曲线的标准方程和定义【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性6过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|( )(A) (B)2 (C)6 (D)4【答案】D【解析】由题意，a1，b，故c2，渐近线方程为yx将x2代入渐近线方程，得y1，22故|AB|4，选D【考点
11、定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.7设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( ) （A）（B） （C） （D）【答案】C8设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案
12、】A【解析】如下图所示，9设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点 (其中，从而，又因为，所以，即，化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.10将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时， C对任意的，
13、D当时，；当时，【答案】.【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得，值，再结合双曲线可求，此题学生
14、易忽略右焦点信息而做错，属于容易题12双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2y2a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则的面积为 （）A、9B、3C、D、1【答案】A【解析】由题意知故选A（二） 填空题（4*5=20分）13已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .【答案】【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为.【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用
15、双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k.14.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .【答案】【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.本题属于小综合题，也是一道能力题，在
16、较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.15已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，=.【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.16设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 【答案】；