1、7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1两个实数比较大小的方法(1)作差法(a，bR)(2)作商法(aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0c.0ax
2、b或axb0b0，m0，则(bm0)；0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)ab0，cd0.()(5)若ab0，则ab0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析0aba2b2，但由a2b200.3P75B组T1若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a2aba2b2b解析0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a22.即a2ab1
3、，即a2b2，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，综上，a2aba2b2b0，cd0 B. D.答案D解析cd0，0dc，又0ba，bdac，又cd0，即.5设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212.即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b.所以“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分不必要
4、条件故选A.6若，则的取值范围是_答案(，0)解析由，得a BacbCcba Dacb答案A解析cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a120，ba，cba.2若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac答案B解析方法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cba.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，
5、有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系题型二不等式的性质典例 (1)已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb20答案A解析由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立(2)设ab1，c；acloga(bc)其中所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析由不等式性质及ab1，知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使
6、用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件跟踪训练 若0，给出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A BC D答案C解析方法一因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误综上所述，可排除A，B，D.方法二由0，可知ba0.中，因为ab0，所以0.故有，即正确；中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又0，所以ab，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确题型三不等式性质的应用命题点1应
7、用性质判断不等式是否成立典例 已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1； a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A BC D答案A解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围典例 已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x
8、4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径跟踪训练 (1)若ab Ba2abC.bn答案C解析(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选C.(
9、2)已知1xy3，则xy的取值范围是_答案(4,0)解析1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xy0，故xy的取值范围为(4,0)利用不等式变形求范围典例 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_错解展示：由得得a3，得b1.由此得4f(2)4a2b11.所以f(2)的取值范围是4,11错误答案4,11现场纠错解析方法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方
10、法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大1(2018济宁模拟)若a0，且xy0，则x与y之间的不等关系是()Axy BxyCxy Dxy答案B解析由a0，可知y0，可知x0，所以xy.2若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小
11、关系是()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)Cf(x)0，则f(x)g(x)3若a，bR，且a|b|0 Ba3b30Ca2b20 Dab0答案D解析由a|b|0知，a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0成立故选D.4(2018乐山调研)若6a10，b2a，cab，那么c的取值范围是()A9c18 B15c30C9c30 D9c30答案D解析cab3a且cab，9ab3a30.5设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20，可知a0且ab，充分性成立；由ab，可知ab0，当0a
12、b时，推不出(ab)a20，必要性不成立6设，那么2的取值范围是()A. B.C(0，) D.答案D解析由题设得02，0，0，2b0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.答案A解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.9已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_答案a1b1a2b2a1b2a2b1解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，因为a
13、1a2，b1b2，所以a1a20，b1b20，于是(a1a2)(b1b2)0，故a1b1a2b2a1b2a2b1.10已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号)答案解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故都正确11(2018青岛调研)设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“”连接)答案zyx解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.1
14、2已知1xy4,2xy3，则3x2y的取值范围是_答案解析设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2y的取值范围为.13设实数x，y满足0xy4，且02x2y2且y2Bx2且y2C0x2且0y2且0y2答案C解析由题意得则由2x2y4xy(x2)(2y)0，得或又xyy，ab，则在axby；axby；axby；xbya；这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_答案解析令x2，y3，a3，b2.符合题设条件xy，ab.ax3(2)5，by2(3)5.axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此不成立1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立15(2018江门模拟)设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若mn2，pq2，则()Amn4且pq4 Bmn4且pq4Cmn4且pq4 Dmn4且pq4答案A解析结合定义及mn2可得或即nm2或mn2，所以mn4；结合定义及pq2，可得或即qp2或pq2，所以pq4.16(2017合肥质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()A(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)答案B解析由已知及三角形三边关系得两式相加，得024，的取值范围为(0,2)