1、第二章直线和圆的方程(第二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点(-1,y1),(2,y2)是直线y=2x+1上的两点,则y1与y2的大小关系为()A.y1y2B.y1y2C.y1=y2D.无法判断【解析】选B.因为y=2x+1是增函数,所以由-12,得y1y2.2.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c), (e,f,d),则c与e的和为()A.7B.-7C.-1D.1【解析】选D.因为点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy的对称点为(-4,-2,-
2、3),点P(-4,-2,3)关于y轴的对称点的坐标为(4,-2,-3),因为点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),所以c=-3,e=4,所以c+e=1.3.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15后,所得直线l的方程是()A.y=-xB.y=xC.x-y+2=0D.x+y-2=0【解析】选B.已知直线x-y+-1=0的斜率为1,则其倾斜角为45,所以直线l的倾斜角=45+15=60,直线l的斜率为tan =tan 60=,所以直线l的方程为y-=(x-1),即y=x.4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称
3、,则k的值为()A.-1B.1C.1D.0【解析】选A.化圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.则圆心坐标为(-k2,-1),因为圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于y=x对称,所以-k2=-1,得k=1.当k=1时,k4-4k+10,所以直线CD的方程为y=-x+4,即x+2y-8=0.(2)设D(a,b),若|BC|=,则|AD|=,所以所以点D的横坐标a=1.2或2.20.(12分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)求圆C的标准方程.(2)求圆C在点B处的切线方
4、程.【解析】(1)如图所示,过点C作CMAB于M,连接AC,则|CM|=|OT|=1,|AM|=|AB|=1,所以圆的半径r=|AC|=,从而圆心C(1,),即圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)令x=0得,y=1,则B(0,+1),所以直线BC的斜率为kBC=-1,由直线与圆相切的性质知,圆C在点B处的切线的斜率为1,则圆C在点B处的切线方程为y-(+1)=1(x-0),即y=x+1.21.(12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程.(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0
5、)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率kPC=-2,而kAB=a=-,所以a=.把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,故=36(a-1)2-36(a2+1)0,即-72a0,解得a0,则实数a的取值范围是(-,0),由于(-,0),假设
6、错误,故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.22.(12分)已知圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-5=0.(1)试判断圆C1与圆C2是否相交,若相交,求两圆公共弦所在直线的方程,若不相交,说明理由.(2)若直线y=kx+1与圆C1交于A,B两点,且OAOB,求实数k的值.【解析】(1)相交.由已知得C1(-1,2),r1=2,C2(2,0),r2=3,所以r1+r2=5,|r1-r2|=1,|C1C2|=,因为|r1-r2|C1C2|0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=,因为OAOB,所以=-1,即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,化简得:(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0,所以-2-+1=0,化简得k2-2k-1=0,解得k=1+或k=1-.