1、小题狂练（10）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别解出集合A,集合B以及集合B的补集，然后对集合A和集合B的补集取并集即可.【详解】集合，或，则故选：B【点睛】本题考查集合的并集补集运算，考查对数不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题.2. 已知复数，为的共轭复数，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.详解】.故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题目.3. 马林梅森(MarinMersenne，1
2、588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得费马等人研究的基础上对作了大量的计算验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可知不超过40的素数有12个，梅森素数有3个，求出随机取两个数的种数，求出至少有一个为梅森素数的种数，即可得出概率.【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，其中梅森素数有3，7，37
3、共3个，则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有种，其中至少有一个为梅森素数有种，所以至少有一个为梅森素数的概率是.故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率的求解，属于基础题.4. 已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（）(附：，则，)A. 36014B. 72027C. 108041D. 168222【答案】B【解析】【分析】由题可求出，即可由此求出，进而求出成绩落在的人数.【详解】，这些考生成绩落在的人数约为.故选：B.【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年
4、，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（）A. 100项B. 101项C. 102项D. 103项【答案】B【解析】【分析】先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数.【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，所以按从小到大的顺序排成一列可得，由，得，故此数列的项数为101.故选：B.
5、【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.6. 已知中，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（）A. B. 4C. D. 23【答案】C【解析】【分析】由题意，故，展开可得关于的一元二次函数，配方，即可求得的最大值.【详解】中，.由题意，,当时，取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.7. 已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（）A. B. C. D.
6、【答案】A【解析】【分析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定的取值范围.【详解】很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，时函数为常函数，而当时，不合题意，当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A. B. C
7、. D. 【答案】D【解析】【分析】动直线过定点，动直线过定点，且此两条直线垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，设ABP，则，0，代入中利用正弦函数的性质可得结果.【详解】动直线过定点，动直线即过定点，且此两条直线垂直点P在以AB为直径的圆上，设ABP，则，0，0，+，sin（+），1，2，故选：D【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题二多选题9. 若集合M1，1，3，5，集合N3，1，5，则正确的是（）A. xN，xMB. xN，xMC. MN1，5D. MN3，1，3【答案】BC【解析】【分析】根据集合M1，1，3，
8、5，集合N3，1，5，逐个判断即可得解.【详解】对A，3 N，3M，故A错误；对B，1N，1M，故B正确；对C，MN1，5，故C正确；对D，MN3，1，1，3，5，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了集合及元素相关关系，也考查了集合的运算，其方法是对集合的元素进行分析判断，属于基础题.10. 下列不等式成立的是（）A. 若ab0，则a2b2B. 若ab4，则ab4C. 若ab，则ac2bc2D. 若ab0，m0，则【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，显然B错误；对于C，当时，故
9、C错误；对于D，因为，所以，所以所以，即成立，故D正确故选AD【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.11. 已知数列满足，则下列各数是的项的有（）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列满足，；数列是周期为3的数列，且前3项为，3；故选：【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题12. 已知函数，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是（）A. 当时，方程没有相应实根B. 当或时，方程有1个相应实根C. 当
10、时，方程有2个相异实根D. 当或或时，方程有4个相异实根【答案】AB【解析】【分析】先由题中条件，得到；根据导数的方法，判定函数在时的单调性，求函数值域，再由得出或；再根据函数零点个数的判定方法，逐项判定，即可得出结果.【详解】由得，则；所以，故，当时，则，由得；由得；则，又，时，；即时，；当时，；由解得或；A选项，当时，与都无解，故没有相应实根；故A正确；B选项，当或时，方程有1个相应实根，即只要一个根，则只需或，解得或；故B正确；C选项，当时，有三个根，有一个根，所以方程有4个相异实根；故C错；D选项，时，方程有两个解；有一个解，共三个解；当时，方程有两个解；有一个解，共三个解；当时，方程
11、无解；方程有三个解，共三个解；故D错.故选：AB.【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程的实根，考查方程根的个数的判定，属于常考题型.三填空题13. 周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_【答案】15.5尺【解析】分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，冬至、
12、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，解得，冬至的日影子长为15.5尺故答案为：15.5尺【点睛】本题考查等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题.14. 已知函数的图像经过点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意易知，然后再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果.【详解】因为函数的图像经过点，所以，所以；又，所以所以；当且仅当时，即时取等号.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.15. 若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则的
13、最大值是_【答案】.【解析】不等式恒成立，等价于恒成立，又是奇函数，原不等式转为在上恒成立，函数在其定义域上是减函数，即，当时，有最小值，因此的最大值是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的最值、二倍角的余弦公式以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求得的最大值.16. 若函数的导函数存在导数，记的导数为如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，(a，b)若，则_；在锐角ABC中，根据上述性质推断：sinAsinBsinC的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】构造函数，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值【详解】解：设，则，则，有如下性质：则，的最大值为，故答案为：，【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题
