1、难点突破强化训练四 解析几何中的范围、定值和探索性问题1. 【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】（本小题满分16分）已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M.(1)若，的面积为1，求椭圆方程；(2)是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】 2. 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离
2、心率的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（2）设 ， 即 9分联立方程得：，消去得：解得：或 12分 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为 15分 3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；（2）若.求证：；求的最大值xO第18题图yMPQ【答案】（1）（2）详见解析 【解析】， ,因此，结合基本不等式得试题解析：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，.2分从而圆的方程为. 4分4. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟
3、考试】（本小题满分16分）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积； （2）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围（第18题图）【答案】（1）（2）详见解析，【解析】试题解析：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即， 联立，解得或（舍），即 2分连BF，则直线BF：，即，而， 4分故 5分解法二：设点，则直线PM的方程为，令，得. 7分所以，所以（定值）. 10分5.
4、【泰州市2016届高三第一次模拟考试】如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线的斜率分别为（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】所以 4分（不考虑直线与轴垂直情形扣1分）6. 【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四
5、边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】()详见解析；（）能，或【解析】7. 【2015高考浙江，理19】已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点） 【答案】（1）或；（2）.【解析】 8. 【2015高考山东，理20】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.()求椭圆的方程；（）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点.( i )求的值；（ii）求面积的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii
6、） .【解析】试题分析：（I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定 的值，从而得到椭圆的方程；（II）（i）设， ，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定 的值; （ii）（i）设， ，由题意知 因为,又 ，即 ,所以 ，即 .（ii）设 将代入椭圆E的方程，可得由 ，可得 则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令 ,将 代入椭圆C的方程可得 由 ，可得 由可知 因此 ,故 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 . 9. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的
7、线段的长为c，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】 10. 【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.【解析】因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.11.【2015高考湖北，
8、理21】一种作图工具如图1所示是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求曲线C的方程；（）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 xDOMNy第21题图2第21题图1 【答案】（）；（）存在最小值8.【解析】. 将代入得，. 当时，；当时，.因，则，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.12. 【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.