1、小题狂练（17）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分四个选项中只有一项符合题目要求）1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集2. 已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A. t1B. t1C. t3D. t3【答案】A【解析】【分析】由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.【详解】由指数函数性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点
2、坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，1+t0，解得t1故选A【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3. 在一组样本数据，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A. -3B. 0C. -1D. 1【答案】C【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点，都在直线上，则有相关系数，故选C.4. 我国南宋著名数学家秦九韶提
3、出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求得,进而可求得代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】，,因为，所以，从而的面积为.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.5. 如图是当取三个不同值，时的三种正态曲线，那么，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正态分布曲线性质，可得结论【详解】由图可知，三种正态曲线的都等于由一定时，越小
4、，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则故选：D【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于基础题.6. 设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由数列，为等差数列，根据等差数列的前项和公式和性质，可得，即得答案.【详解】数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，.故选：.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和性质，属于中档题.7. 双曲线的左、右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
5、分析】由已知条件得双曲线、抛物线焦点，求出点坐标，再由双曲线定义求得的值，继而求出双曲线的离心率【详解】为抛物线的焦点，故点坐标为或，则解得，又,故选【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率问题，运用双曲线定义结合已知条件即可得到结果，较为简单8. 设函数是函数的导函数，当时，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得出，利用导数研究函数的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数无零点，从而得出函数的零点个数.【详解】设，则.当时，当时，故，所以，函数在上单调递减；当时，故，所以，函数在上单调递增.所以，所以，函数没有零点，故也没有零点.故选
6、：D.【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）A. 成绩在的考生人数最多B. 不及格的考生人数为10
7、00C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D. 考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【解析】【分析】因为成绩出现在70，80的频率最大，故A正确；不及格考生数为10（0.010+0.015）40001000，故B正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5，C正确；估计中位数为71.67，D错误【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，所以中位数为，故D错误.故选ABC.【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布
8、直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力属于基础题10. 已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.A. 函数的图像关于直线对称B. 当时，函数的最小值为C. 若，则的值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】【分析】首先根据函数的最大值得到，根据图像相邻的两条对称轴之间的距离得到，再根据的图像关于点对称得到，从而得到.对选项A，因为，故A错误.对选项B，根据题意得到，从而得到的最小值， 故B正确.对选项C，根据得到，再计算的值即可判断B错误.对选项D，将的图像向右平移个单位，得到，即可判断D正
9、确.【详解】由题知：函数的最大值为，所以.因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，又因为的图像关于点对称，所以，.所以，.因为，所以.即.对选项A，故A错误.对选项B，当时，取得最小值， 故B正确.对选项C，得到.因为，故C错误.对选项D，的图像向右平移个单位得到，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题.11. 在中，D，E，F分别是边，中点，下列说法正确的是（ ）A. B. C. 若，则是在的投影向量D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项
10、C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，故A错误.对选项B，故B正确.对选项C，分别表示平行于，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为在上，即三点共线，设，.又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值为.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中
11、档题.12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列. 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】由可得，可判断B、D选项；先计算数列前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项.【详解】对于A选项：，所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；对于C选项：，故C选项错误；对于B选
12、项：斐波那契数列总有：，所以，所以，故B正确；对于D选项：，。所以，故D选项错误；故选：AB.【点睛】本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为_.【答案】128【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.【详解】解：由题意，通项为：，由于的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：，解得：，故该二项式为，令得展开式各项系数的
13、和为：故答案为：128【点睛】本题考查二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数和.14. 已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为_.【答案】【解析】【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概
14、型求概率即可.【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为: ，故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.15. 已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则
15、的值为_，弦的长为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意可知直线与直线垂直，可求得的值，并且直线过圆心，可求得实数的值，然后将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径，并计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦的长.【详解】由题意可知，直线与直线垂直，可得，由于方程表示的曲线为圆，则，解得，且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，所以，解得，所以，圆的方程为，即，圆心坐标为，半径长为，圆心到直线的距离为，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用两直线垂直求参数，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，解答的关键就是求出圆的方程，考查计算能力，属于中等题.16. 在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积的最小值为_【答案】【解析】【分析】先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值【详解】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么,所以由题意，体积的最小值即为最小，所以当时，的最小值为，所以半径为，故体积的最小值为【点睛】根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点