1、小题狂练（12）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.【详解】由得，由得，故，故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.2. 已知是虚数单位，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分
2、也不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.【详解】当时，故“”是“”的必要条件.反之，若，则，因此，解得或，故“”是“”的不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法和必要不充分条件的判断，后者应该根据两者的推出关系来判断两者之间的条件关系，本题属于基础题.3. 设，且，则（ ）A. B. 10C. 20D. 100【答案】A【解析】【分析】先根据，得到，再由求解.【详解】因为，所以，所以，又，故选：A【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.4. 等差数列的公差不为0.若，成等比数列，且，则前6项的和为（ ）A. -24B.
3、-3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比中项可得，根据等差数列的通项公式可得，代入等差数列的前项和公式可的结果.【详解】设的公差为，因为，成等比数列，所以，得，化简得，因为，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了等比中项的应用，考查了等差数列通项公式基本量的计算，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题.5. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用三角函数的图像平移得到新的解析式，结合函数为偶函数即可求得的最小正值.【详解】，将函数的图象向右平移个单位得，由
4、该函数为偶函数可知: ，即，当时， ，所以的最小正值是为.故选：【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的图象平移，三角函数奇偶性，是中档题.6. 为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数【答案】D【解析】【详解】表示不超过的最大整数,则,所以,即是周期为1的周期函数.故选：D7. 在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积
5、的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用8. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
6、题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B. z可能为实数C. D. 的实部为【答案】BCD【解析】【分析】由，得，得，可判断A选项；当虚部时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得的实部是，可判断D选项；【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；当时，复数z是实数，故B选项正确；，故C选项正确；，的实部是，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三
7、角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.10.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】AD【解析】【分析】根据题意，分两种情况作图：第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边；然后利用三角形全等即可求解.【详解】第一种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,
8、为中点，取，则，设，则，所以，可得，第二种情况：现从角落A沿角的方向把球打出去，球先接触边，反射情况如下：此时，根据反射的性质，所以，,为中点，取，则，设，则，所以，可得，故答案选：AD【点睛】本题考查分类讨论的数学思想，难点在于作图，属于难题.11.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）A. 对任意点P，平面B. 三棱锥的体积为C. 线段DP长度的最小值为D. 存在点P，使得DP与平面所成角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】对四个选项逐一分析，对于A：平面平面，可得平面；对于B：三棱锥的高均为1，底面的面积为，根据锥体体积公式计算即可作出判断；对于C：当点P
9、为的中点时，DP最小，此时，在中利用勾股定理进行计算可得出DP的最小值；对于D：设点P在平面上的投影为点Q，为DP与平面所成的角，而，所以DP与平面所成角的正弦值的取值范围是，而，从而作出判断.【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为，对于A：分别连接、，易得平面平面，平面，故对任意点P，平面，故正确；对于B：分别连接、，无论点P在哪个位置，三棱锥的高均为1，底面的面积为，所以三棱锥的体积为，故正确；对于C：线段DP在中，当点P为的中点时，DP最小，此时，在中，故DP的最小值为，故正确；对于D：点P在平面上的投影在线段上，设点P的投影为点Q，则为DP与平面所成的角，而，所以DP与平面所成角的正
10、弦值的取值范围是，而，所以不存在点P，使得DP与平面所成角的大小为，故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行，考查棱锥体积，考查线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ）A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B. 已知，则是间隔递增数列C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则【答案】BCD【解析】【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ，因为，所以当时，故错误；B. ，令，t在单调递增，则，解得，
11、故正确； C. ，当为奇数时，存在成立，当为偶数时，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则，对于成立，且，对于成立即，对于成立，且，对于成立所以，且解得，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则k的值为_.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得，再结合向量的数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，则，因为，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及平
12、面向量的数量积的坐标运算，其中解答熟记平面向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.若，则的值为_.【答案】5【解析】【分析】将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.【详解】，其通项公式为，故，所以.故答案为：5【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上关于轴对称的两点，的中点P恰好落在轴上，若，则椭圆C的离心率的值为_.【答案】【解析】【分析】由已知条件先判断出过左焦点且，然后求出两点坐标，再表示出点坐标，根据，利用向量数量积坐标形式得到关于的方程
13、，结合及即可求出.【详解】解：由于的中点P恰好落在轴上，又A，B是椭圆上关于轴对称的两点，所以过左焦点且，则.因为是的中点，则.又，则.因为，则，即.又，则，即，解得：或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.16.已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为_；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入得，与联立，利用判别式为零解得a的值.先求导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.【详解】,设切点为，则切点为，直线代入得，由上面可知切线方程为：，代入得，令，则当时单调递增，当时单调递减，因此所以故答案为：，点睛】本题考查导数几何意义、两函数公切线、利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.