1、【高效整合篇】专题九 概率与统计、算法、推理与证明、复数一考场传真1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知复数（是虚数单位），则 .【答案】【解析】试题分析：，2. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本，则取出的两本书都是数学书的概率为 .【答案】 3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】运行如图所示的伪代码，其结果为 .S1For I From 1 To 7 step 2SS + IEnd ForPrint S第4题图【答案】17【解析】 4. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟
2、考试数学】某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 .【答案】17【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人5. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】复数，其中i为虚数单位，则a的值为 【答案】5【解析】试题分析：6. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 【答案】2【解析】试题分析：由题意得，因此方差为7. 【苏州市2016届高三年级第一次
3、模拟考试】阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 N （第6题图）开始 zx+yx1 ，y1z 6 y z Y 输出 结束 x y 【答案】【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环，输出8. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 【答案】 9. 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】若复数（是虚数单位），则的虚部为 .【答案】3【解析】试题分析：,则的虚部为310. 【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试
4、题】.如图，若输入的值为，则相应输出的值为 .【答案】二高考研究1考纲要求概率与统计（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式（2）理解古典概型及其概率计算公式会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点（4）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（5）能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释（6）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数
5、字特征，理解用样本估计总体的思想（7）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题（8）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念算法初步（1）算法的含义、程序框图了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和
6、差异.（2）直接证明与间接证明.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.框图（1）流程图了解程序框图；了解工序流程图（即统筹图）；能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图了解结构图；会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息.2命题规律（1）随机事件的
7、概率、复数、算法程序框图、推理证明在高考中多以填空题的形式考查，并且常与统计知识放在一块考查；（2）借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主；（3）考查以样本的分布估计总体的分布（以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数）基础知识整合【算法与程序框图】1随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0（2）古典概型的概率：；（3）几何概型的概率：；（4）互斥事件的概率
8、加法公式：；对立事件的概率减法公式：；2直方图的三个常用结论（1）小长方形的面积=组距=频率；（2）各长方形的面积和等于1；（3）小长方形的高=3统计中的四个数据特征（1）众数、中位数；（2）样本平均数；（3）样本方差；（4）样本标准差4线性回归方程线性回归方程为，一定经过样本中心点5.循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止.循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来
9、解决.6.合情推理：（1）归纳推理（2）类比推理7.演绎推理：直接证明：综合法、分析法，反证法，数学归纳法8.复数的相关概念，复数的几何意义，复数的四则运算：9复数重要性质：， ，. ，.二高频考点突破考点1 古典概型与几何概型【例1】【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .【答案】【规律方法】1解决古典概型问题，关键是弄清楚基本事件的总数以及某个事件A所包含的基本事件的个数，然后由公式来求概率；2几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域；3对于较复杂的互斥事件可先分解为基本事件，
10、然后用互斥事件的概率加法公式求解【举一反三】【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为 【答案】【解析】试题分析：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，共有6种不同的安排方法，其中丙在第一天的安排方法有两种，则甲与丙都不在第一天的概率为考点2 互斥事件与相互独立事件【例3】【泰州市2016届高三第一次模拟考试】甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为 【答案】【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P（乙不输棋）=1-P（甲获胜）=【规律
11、方法】1求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解；2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式计算【举一反三】【江苏省清江中学2016届高三周练数学试题】袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任意取两个球，则这两个球颜色不相同的概率为 【答案】考点3 抽样方法【例4】【泰州市2016届高三第一次模拟考试】某校共有教师200人，男学生800
12、人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 【答案】200【解析】试题分析：男学生占全校总人数，那么【规律方法】类 别共 同 点各 自 特 点相 互 联 系适 用 范 围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的机会均等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少:系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成(1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，
13、把总体分成均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本(2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除【举一反三】【江苏省清江中学2016届高三周练数学试题】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为，则这四个社区驾驶员的总人数为 【答案】【解析】试题分析：总人数为考点4 用样本估计总体【例5】【扬州市2015201
14、6学年度第一学期期末检测试题】某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、第八组. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为 .【答案】144【规律方法】1利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(3)众数：在频率
15、分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标2平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定【举一反三】【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有 辆【答案】75考点5 程序框图的执行【例1】【泰州市2016届高三第一次模拟考试】执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的的值为 （第5题） 【答案】5【解
16、析】试题分析：第一次循环，第二次循环，【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证【举一反三】【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】运行如图所示的伪代码，则输出的结果为 【答案】9【解析】试题分析：第一次循环，,第二次循环，第三次循环，第四次循环，则考点6
17、程序框图的补全【例2】【泰州市2015届高三第三次调研测试】在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 【答案】【规律方法】对循环结构首先要分清是当型的还是直到型的，其次要注意控制循环的变量是什么，何时退出循环，再次要清楚循环体内的程序是什么，如何变化，循环结构常与数列求和或求积联系在一起.【举一反三】【山东省实验中学2014-2015第一次诊断性考试】如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是 【答案】考点7 归纳推理【例1】【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(6)】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根
18、数是 【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.【举一反三】【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(5)】一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”记集合 1，2，3，3n的子集中所有“好集”的个数为f(n)（1）求f(1)，f(2)的值；（2）求f(n
19、)的表达式【答案】（1）f(1)=3，f(2)23；（2）f(n)+2n1 【解析】试题分析：（1）求和可用列举法，即集合的子集中“好集”个数3，而为集合的子集中“好集”个数，可分类，一元集，二元集，三元集，四元集，五元集，六元集，最终求得；（2）为了求，我们尝试研究出与的关系.集合1，2，3，3n，3n+1，3n+2，3n+3在集合1，2，3，3n中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3因此f(n+1)的组成有以下几部分：原有的f(n)个集合；只含有元素3n+1的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余2的集合，只含有元素3n+2的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余1的集
20、合，只含有元素3n+3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；含有元素3n+1与3n+2的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是1，2，3，3n中“好集”与它的并，再加上3n+1，3n+2，3n+3于是有f(n+1)2 f(n)+223n+1，这个等式两边同除以后可求得.试题解析： (2)首先考虑f(n+1)与f
21、(n)的关系集合1，2，3，3n，3n+1，3n+2，3n+3在集合1，2，3，3n中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3故f(n+1)的组成有以下几部分：原有的f(n)个集合；含有元素3n+1的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有
22、元素是3n+1与3n+3的“好集”是1，2，3，3n中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是1，2，3，3n中“好集”与它的并，再加上3n+1，3n+2，3n+3 所以，f(n+1)2 f(n)+223n+1 两边同除以2n+1，得4n+， 所以 4n-1+4n-2+4+1， 即f(n)+2n1 考点8 类比推理 【例4】【河南省信阳四中2015届高三第三次月考】在平面几何里，有勾股定理“设的两边、互相垂直，则”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥的三个侧面、两两相互垂
23、直，则 .【分析】注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：线段的长度平面几何中平面图形的面积立体几何中立体图形的体积的类比；等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】【陕西省西安市长安区长安一中2015届高三第二次质量检测】对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面的情形是：若是内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，
24、则有_.【答案】.【解析】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得到相应的等式或结论.试题解析：根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若是四面体内一点，则有.考点9 间接证明 【例6】【2015年鹤岗模拟】设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和 (1)求证：数列Sn不是等比数列； (2)数列Sn是等差数列吗？为什么？【分析】用反证法证明.【证明】(1)假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1
25、q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列【规律方法】用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命
26、题.【举一反三】【2016年北京模拟】直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点 (1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形【证明】(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为，所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点
27、时，四边形OABC不可能为菱形考点10 复数 【例1】【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知复数满足，若的虚部大于0，则 【答案】【解析】试题分析：设，因此 ，又则【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即，实部为，虚部为.（
28、1）复数的概念：为实数；为纯虚数且；为虚数.（2）复数的几何意义：在复平面内对应的点在复平面对应向量；复数的模.（3）共轭复数：复数与互为共轭复数.【举一反三】【江苏省清江中学2016届高三周练数学试题】已知复数满足（其中为虚数单位），则 【答案】三错混辨析1.忽视判别式适用的前提【例1】求实数的取值范围，使方程至少有一个实根.【错解】由于方程至少有一根，则，解得或，故实数的取值范围是.【错原】忽略了判断一元二次方程使用的情形，利用的符号来判断一元二次方程是否存在实根的前提是实系数一元二次方程.【正解】设的一个实数根为，则，即，根据复数相等得，解得或，故.2.忽视对循环结构的合理分析【例2】如
29、果执行如图11所示的程序框图，那么输出的 .【错解】.【错原】缺乏对循环结构的合理分析，没有注意到循环结构中变量的计算公式，没有注意到每次加上的为偶数，从而到对算法程序框图的理解错误，导致运算错误.【正解】由程序框图可知，算法表示的是计算以内所有正偶数的和，即，故选B.1【改编题】高三年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为21的样本，则抽取男生的人数为_【答案】12【解析】设抽取男运动员人数为n，则，解之得n12 2【原创题】已知函数，为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数在上零点的个数大于或等于5的概率为_【答案】 3【原创题】以下茎叶图记录了甲、乙两组
30、各六名同学在某次考试中的数学成绩（百分制）乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，但是知道甲组的中位数小于乙组的中位数，若图中的模糊数字用表示，则的值为_【答案】8或9【解析】由已知可得，或4【新颖题】为了统计某地区网友2014年12月12日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该地区名网友当天的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图1）：若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为（）试确定，的值，并补全频率分布直方图（如图2）（）为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法
31、确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查求进行问卷调查人中至少有2人是“非网购达人”的概率【答案】（），图略；（）【解析】（）根据题意，有 2分解得 3分补全频率分布直方图如图所示 5分 5【新颖题】为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，某市对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程（公里）纯电动乘用车万元/辆万元/辆万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率合计（I）求，的值；（II）若从这辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车
32、续驶里程都不低于公里的概率【答案】（）；（） 6.（原创题）在复数集上定义运算“”：当时，；当时，若，则复数在复平面内所对应的点位于第 象限 【答案】一【解析】，则，所以，且，因此，所对应的点的坐标为，故复数在复平面内所对应的点位于第一象限.7.（原创题）执行如图12所示的算法程序框图，若输出的值满足，则输入的值的取值范围是 . 【答案】. 8.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考】将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第个数为 .【答案】.【解析】由题意三角形数阵每行的奇数个数组成以1为首项，公差为1的等差数列，则从第1行到第行的奇数总个数为个，所以第行最后一位数为，可知第行从左到右的第3个数为.9.（原创题）已知平面坐标系内两点、，定义直角距离.已知点，点为直线上一点，则的最小值是 .【答案】.【解析】设点的坐标为，则，利用绝对值的几何意义可知，的最小值为10.【湖北省武汉市部分学校2014届高三11月联考】已知函数的导函数为，且对任意，都有. （1）判断函数在上的单调性； （2）设、，证明：； （3）请将（2）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）详见解析；（3）详见解析.得，所以；
