1、北京市人大附中2015届高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x2x20，集合B=x|xa|3，若AB=R，则实数a的取值范围是（）A1，2B（1，2）C1，2D（2，1）2（5分）已知直线l平面，直线m平面，有下列命题：lm，lmlmlm正确的命题是（）A与 B与C与D与3（5分）下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y=log2x的图象重合的函数是（）Ay=2xBy=logxCy=4xDy=log2+14（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B
2、1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）ABCD5（5分）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（）ABCD6（5分）设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是（）A4Ba3+b32ab2Ca2+b2+22a+2bD7（5分）设a，b是方程x2+（cot）xcos=0的两个不等实根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A相离B相切C相交D随的值而变化8（5分）（1999广东）函数f（x）=Msin（x+）（0）在区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x+）在a，b上（）A是增函数B是减函数C可以取得
3、最大值MD可以取得最小值M二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上.9（5分）若x，y满足则z=x+2y的最大值为10（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a10，若存在自然数m3，使得am=Sm，当nm时，Sn与an的大小关系为：Snan（填“”；“”或“=”）11（5分）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）（注：地球球心
4、位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）12（5分）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为13（5分）设，是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）|=|； （2）（）（）不与向量垂直；（3）|； （4）若=0，则=0，或者=0；（5）（）=（）； （6）（3+2）（32）=9|24|2其中真命题的序号为14（5分）某纺织厂的一个车间有n（n7，nN*）台织布机，编号分别为1，2，3，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，n定义记号aij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定aij=1，否则aij=0若第7号织布机
5、有且仅有一人操作，则a17+a27+a37+a47+an7=；若a31+a32+a33+a34+a3n=2，说明三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，（1）求的值； （2）若a=，求bc的最大值16（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点（I）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（II）当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的大小（结果用反三角函数值表示）17（14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每
6、天下午4：005：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？18（14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线ACFB中遇
7、到堵车次数为随机变量，求的数学期望E19（12分）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值；（2）设证明20（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程北京市人大附中2015届高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x2x20，集合B=x|xa|3，若AB=R，则实数a的取值范围是（）A1，2B（1，2）C1，
8、2D（2，1）考点：绝对值不等式的解法；并集及其运算 专题：不等式的解法及应用；集合分析：求出两个集合，然后利用并集求解即可解答：解：集合A=x2x20=x|x1或x2，集合B=x|xa|3=x|a3xa+3，若AB=R，可得a31并且a+32，解得a（1，2）故选：B点评：本题考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，并集的应用，考查计算能力2（5分）已知直线l平面，直线m平面，有下列命题：lm，lmlmlm正确的命题是（）A与 B与C与D与考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：本题
9、应逐个判断：需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，可举出反例来即可解答：解：l，l，又直线m，故有lm，即正确；l，l，或l，此时l与m可能平行，相交或异面，即错误；l，lm，m，又m，故有，即正确l，lm，又m，此时与可能相交可能平行，故错误；故选D点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题3（5分）下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y=log2x的图象重合的函数是（）Ay=2xBy=logxCy=4xDy=log2+1考点：对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化；指数函数的图像变换 专题：数形结合分析：从自己熟悉的知识入手，易知A、y=l
10、og2x与y=2x互为反函数，则图象关于y=x对称；B、y=logx=log2x易知是y=log2x变换而来的；C、两个函数的底不同；D、y=log2+1=log2x+1易知是y=log2x变换而来的解答：解：A、易知：y=log2x与y=2x互为反函数，则图象关于y=x对称，两者图象翻折得到B、y=logx=log2x关于x轴对称，两者图象翻折得到D、y=log2+1=log2x+1与y=log2x图象关于x轴对称，再向上平移一个单位两者图象翻折再平移得到C、两个函数的底不同不会由变换得到故选C点评：本题主要考查数形结合的思想，函数解析式有内在联系，则图象间有变换关系，同样，图象间有变换关系
11、，则函数间有内在联系，在探讨过程中作适当的等价变形是很重要的4（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）ABCD考点：曲线与方程 专题：图表型分析：根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合从而得出正确选项解答：解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分A的图
12、象为直线的图象，排除AB项中B不是抛物线的焦点，排除BD项不过A点，D排除故选C点评：本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想5（5分）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（）ABCD考点：函数的图象；正弦函数的图象 专题：作图题；压轴题；分类讨论分析：本题考查的是函数的图象问题在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答解答：解：由题意可知：，当0x时，y=x+sinx，y=1+cosx0，所以函数y=x+sinx在0，上为增函数；又由sinx00，上恒成立，故函数y=x+s
13、inx0，上在y=x的上方；当x0时，y=xsinx，y=1cosx0，所以函数y=x+sinx在0，上为增函数；又由sinx0，0上恒成立，故函数y=x+sinx，0上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x，恒过（，）和（，）两点，所以A选项对应的图象符合故选A点评：本题考查的是函数的图象问题在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想值得同学们体会和反思6（5分）设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是（）A4Ba3+b32ab2Ca2+b2+22a+2bD考点：基本不等式 分析：根据基本不等式的性质可知排除A，取，判断出B不成立a2+b2+2（2a+2b
14、）=（a1）2+（b1）2排除C；看ab和ab，时D项均成立排除D解答：解：a0，b0，A4故A恒成立，Ba3+b32ab2，取，则B不成立Ca2+b2+2（2a+2b）=（a1）2+（b1）20故C恒成立D若ab则恒成立若ab，则=20，故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题考查了学生对基础知识的掌握7（5分）设a，b是方程x2+（cot）xcos=0的两个不等实根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A相离B相切C相交D随的值而变化考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：利用韦达定理表示出a+b与ab，求出直线AB的斜率，表示出直线AB
15、，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，与r比较大小即可得到直线与圆的位置关系解答：解：由题意可得，a+b=cot，ab=cos，且cot2+4cos0，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k=a+b，直线lAB：yb2=（b+a）（xb）即y=（b+a）xab，cotx+ycos=0，圆心（0，0）到直线AB的距离d=1=r，直线AB与圆位置关系是相切故选B点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：韦达定理，直线斜率的求法，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键8（5分）（1999广东）函数f（x）=Msin（x+）（0）在
16、区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x+）在a，b上（）A是增函数B是减函数C可以取得最大值MD可以取得最小值M考点：复合三角函数的单调性 专题：计算题；压轴题分析：由函数f（x）=Msin（x+）（0）在区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M，可利用赋值法进行求解即可解答：解：函数f（x）在区间a，b上是增函数，且f（a）=M，f（b）=M采用特殊值法：令=1，=0，则f（x）=Msinx，设区间为，M0，g（x）=Mcosx在，上不具备单调性，但有最大值M，故选：C点评：本题综合考查了正弦函数与余弦函数的图象及性质，利用整体思想进行求值
17、，在解题时要熟练运用相关结论：y=Asin（wx+）为奇（偶）函数=k（=k+）（kZ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上.9（5分）若x，y满足则z=x+2y的最大值为7考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过可行域内的点A时，从而得到z=x+2y的最大值即可解答：解：在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分（O为原点），A （3，2），由图可知，最优解为A （3，2），故Zmax=7故答案为：7点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数
18、形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解10（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a10，若存在自然数m3，使得am=Sm，当nm时，Sn与an的大小关系为：Snan（填“”；“”或“=”）考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：根据sm=sm1+am=am可得sm1=0，由a10可得该数列的公差d0，am1=a1，从而可比较Sn与an的大小解答：解：sm=sm1+am=am，sm1=0，即，又m3，a10，am1=a10，等差数列an的公差d0，当nm时，an0，sn=sm1+am+am+1+an
19、an故答案为：点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题11（5分）2003年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里）=1（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可）考点：椭圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：设椭圆方程为：=1（ab0），由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac，最大值为a+c，列出方程，解方程，即可得到a，b，
20、进而得到椭圆方程解答：解：设椭圆方程为：=1（ab0），由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac，最大值为a+c，则ac=6370+200=6970，a+c=350+6370=6720，解得，a=6845，b2=a2c2=69706720，则有椭圆方程为=1故答案为：=1点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆上的点到焦点的距离的最值，考查运算能力，属于基础题12（5分）某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为840考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；排列组合分析：根据题意，按照4个人选择入站口的数目分4种情况讨论：、4个人选择同一个入口处入站，、
21、4个人选择2个不同的入口处入站，、4个人选择3个不同的入口处入站，、4个人选择4个不同的入口处入站；每种情况下分析入站口选择的情况数目、分组的情况数目以及每组人与人之间的顺序，由分步计数原理可得每种情况下进站的方案数目，进而由分类计数原理将4种情况下的进站的方案数相加即可得答案解答：解：根据题意，分4种情况讨论：、4个人选择同一个入口处入站，共有4个入口处，即有4种选择，考虑4个人之间的顺序，有A44=24种情况，则此时有424=96种进站的方案；、4个人选择2个不同的入口处入站，在4个入口处选2个，有C42=6种选法，将4个人分成2组，如果每组2人，有C42=3种分组方法，将这两组对应2个入
22、口，有A22=2种情况，考虑每组2人的顺序，有A22A22=4种不同的顺序，则每组2人有6324=144种进站的方案，如果一组1人，另一组3人，有C43C11=4种分组方法，将这两组对应2个入口，有A22=2种情况，考虑3人组3人之间的顺序，有A33=6种不同的顺序，则每组2人有6426=288种进站的方案，则选择2个入口处入站，有144+288=432种进站的方案；、4个人选择3个不同的入口处入站，在4个入口处选3个，有C43=4种选法，将4个人分成2组，必然一组2人，剩余2组每组1人，有C42=6种分组方法，将这两组对应3个入口，有A33=6种情况，考虑2人组2人之间的顺序，有A22=2种
23、不同的顺序，则此时有4662=288种进站的方案；、4个人选择4个不同的入口处入站，将4人全排列，对应4个入口处即可，此时有A44=24种不同的进站的方案，则一共有96+432+288+24=840种不同的进站的方案；故答案为：840点评：本题考查排列、组合的运用，解题的关键是正确的分类讨论，务必做到不重不漏13（5分）设，是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）|=|； （2）（）（）不与向量垂直；（3）|； （4）若=0，则=0，或者=0；（5）（）=（）； （6）（3+2）（32）=9|24|2其中真命题的序号为（6）考点：命题的真假判断与应用 专题：平面向量及应用分
24、析：根据向量的模，向量的数量积运算法则，向量垂直的充要条件等知识点逐一判断6个结论的真假，可得答案解答：解：（1）中，向量，不共线，故cos1，|=|cos|，故（1）错误；（2）（）（）=（）（）（）（）=0，故（）（）与向量垂直，故（3）错误；（3）若=，则|=|=0，故（3）错误；（4）若=0，则=，或者=，或者，故（4）错误；（5）（）表示一个与共线的向量，（）表示一个与共线的向量，当与不共线时，两者一定不相等，故（5）错误；（6）（3+2）（32）=9242=9|24|2故（6）正确；故真命题的序号为：（6），故答案为：（6）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量的基本运算，难度
25、不大，属于基础题14（5分）某纺织厂的一个车间有n（n7，nN*）台织布机，编号分别为1，2，3，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，n定义记号aij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定aij=1，否则aij=0若第7号织布机有且仅有一人操作，则a17+a27+a37+a47+an7=1；若a31+a32+a33+a34+a3n=2，说明a31，a32，a33，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机考点：进行简单的合情推理 专题：转化思想分析：对于第一个空由题意叙述的aij的含义可以知道，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a17，a27，a37
26、，an7中有且仅有一个值为1，其余值为0，即可得求解；对于第二个空由题意叙述的aij的含义可以知道a31，a32，a33，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0解答：解：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a17，a27，a37，an7中有且仅有一个值为1，其余值为0，a17+a27+a37+an7=1同理，由a31+a32+a33+a3n=2说明a31，a32，a33，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机故答案为：1； a31，a32，a33，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机点评：此题重在理解好题意定义的aij的含义，
27、重点考查了学生的理解能力三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，（1）求的值； （2）若a=，求bc的最大值考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；余弦定理 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角函数的降幂公式，结合已知cosA=可求得+cos2A的值；（2）利用余弦定理与基本不等式即可求得bc的最大值解答：解：（1）在ABC中，A+B+C=，cosA=，原式=+cos2A=+2cos2A1=+1=（2）由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，a=，3=b2+c2
28、bc2bcbc=bc，bc（当且仅当b=c时取等号）bc的最大值是点评：本题考查二倍角的余弦与三角函数间的关系式，考查余弦定理与基本不等式，属于中档题16（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点（I）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（II）当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的大小（结果用反三角函数值表示）考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题 专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法分析：（I）法一：几何法：要D1E平面AB1F，先确定D1E平面AB1F内的两条相交直线，由三
29、垂线定理易证D1EAB1，同理证明D1EAF即可法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直（II）法一：求二面角C1EFA的大小，转化为求C1EFC的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CHEF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HC是二面角C1EFC的平面角求解即可法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1FD1EAF连接DE，则DE是D1E
30、在底面ABCD内的射影D1EAFDEAFABCD是正方形，E是BC的中点当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F（6分）（II）当D1E平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点又已知点E是BC的中点，连接EF，则EFBD连接AC，设AC与EF交于点H，则CHEF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HEF，即C1HC是二面角C1EFC的平面角在RtC1CH中，C1C=1，CH=AC=，tanC1HC=C1HC=arctan，从而AHC1=arctan2故二面角C1EFA的大小为解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设D
31、F=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）=11=0，即D1EAB1于是D1E平面AB1FD1EAF即x=故当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F（2）当D1E平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EFBD连接AC，设AC与EF交于点H，则AHEF连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HEF，即AHC1是二面角C1EFA的平面角，=，即故二面角C1EFA的大小为arccos点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力空间向
32、量计算法容易出错17（14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：005：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？考点：分布的意义和作用 专题：应用题；等差数列与等比数列分析：设第n天去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，得an+bn=150；根据题意，推导出an的通项公式，判断n+时，an是否稳定于某一个常数即可解答：解：记第n天去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则an+bn=150；当n=1时，则a
33、1=150b1，当n2时，an=（110%）an1+20%bn1=（110%）an1+20%（150an1）=30+0.7an1，则an100=0.7（an1100），即=0.7；数列an100是a1100为首项，以0.7为公比的等比数列；an100=（a1100）0.7n，即an=（a1100）0.7n+100；当n+时，0.7n0，（a1100）0.7n0，an100；即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右点评：本题考查了等比数列的概念与应用问题，也考查了递推数列的应用问题，考查了数学建模能力与逻辑推理能力，是综合性题目18（14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上
34、班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；应用题分析：（1）各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的
35、概率，得到选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小（2）由题意知路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，路线ACDB中遇到堵车的概率P1为1P（）=1P（）P（）P（）=11P（AC）1P（CD）1P（DB）=1；（3分）同理：路线ACFB中遇到堵车的概率P2为1P（）=（小于）路线AEFB中遇到堵车的概率P3为1P（）=（大于） 显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在
36、以上三条路线中选择因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小（2）路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3P（=0）=P（）=P（=1）=P（AC）+P（CF）+P（）=P（=2）=P（ACCF）+P（ACFB）+P（CFFB）=P（=3）=P（ACCFFB）=，E=0+1答：路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为点评：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错19（12分）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值；（2）设证明考点：二次函数的性质；数列与函数的综合 专题：计算题；证明题；压
37、轴题分析：（1）由函数的最大值不大于，求得a2的范围，再由第二个条件即可得到a的值（2）由第一问a的值确定f（x）的解析式，然后利用数学归纳法证明该不等式解答：解：（1）由于的最大值不大于，所以，即a21又时，所以即解得a1由得a=1（2）由（1）知f（x）=x当n=1时，不等式成立；因，所以，故n=2时不等式也成立假设n=k（k2）时，不等式成立，因为的对称轴为，知f（x）在为增函数，所以由得于是有，所以当n=k+1时，不等式也成立根据可知，对任何nN*，不等式成立点评：本题是道难题，考查了二次函数的性质以及函数与数列的综合问题，在证明第二问的不等式式注意数学归纳法的应用20（13分）已知抛
38、物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程考点：圆与圆的位置关系及其判定；恒过定点的直线；相交弦所在直线的方程 专题：计算题；直线与圆分析：（1）通过已知条件求出直线MN的方程，直线MN是直线系，即可得到直线过的定点，问题得到证明；（2）求出以AB和CD为直径的圆的方程，然后求两圆相交弦的直线方程，说明公共弦过原点OOHT=90得到点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点）即可解答：解：（1）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M，将k换为得N（2k2+1，2k），由两点式得MN方程为（1k2）y=k（x3），则直线MN恒过定点T（3，0）；（7分）（2）由抛物线性质，以AB、CD为直径的M、N的半径分别为xM+1，xN+1，于是可得两圆方程分别为和，两式相减可得其相交弦所在直线方程为（xMxN）x+（yMyN）y=，则公共弦过原点O所以OHT=90于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点），其轨迹方程为（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力