1、27.1.2圆的对称性1一选择题（共8小题）1在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A相等弦所对的弧相等 B相等弦所对的圆心角相等C相等圆心角所对的弧相等 D相等圆心角所对的弦相等2如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A6B5C4D33已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm4如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D85如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）AAE=BEB=COE=DED
2、DBC=906如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A4BCD7已知O的面积为2，则其内接正三角形的面积为（）A3B3CD8如图，半径为3的O内有一点A，OA=，点P在O上，当OPA最大时，PA的长等于（）ABC3D2二填空题（共6小题）9如图，已知直线AB与O相交于A、B两点，OAB=30，半径OA=2，那么弦AB=_10如图，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若CD=8，则ACD的面积是_11如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN
3、于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_12如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=2230，则O的半径为_cm13如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB=45，则四边形MANB面积的最大值是_14如图，AB是O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为_三解答题（共7小题）15如图，AB是O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD求证：OCD是等腰三角形16已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C
4、，D（如图）（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长17如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆心O，连接MB（1）若CD=16，BE=4，求O的直径；（2）若M=D，求D的度数18如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围19如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，PB与CD交于点F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5，O的半径R=2，求劣弧AC的长度20如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，（1）求
5、AB的长；（2）求O的半径21已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长27.1.2圆的对称性1参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A相等弦所对的弧相等 B相等弦所对的圆心角相等C相等圆心角所对的弧相等 D相等圆心角所对的弦相等考点：圆心角、弧、弦的关系分析：利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧
6、，所以可判断出A选项错误解答：解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确故选A点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧2如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A6B5C4D3考点：垂径定理；勾股定理分析：过O作OCAB于C，根据垂径定理求出AC
7、，根据勾股定理求出OC即可解答：解：过O作OCAB于C，OC过O，AC=BC=AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC=5故选：B点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长3已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm考点：垂径定理；勾股定理专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=
8、4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D8考点：垂径定理；勾股定理专题：计算题分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长解答：解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，ABCD，在OBE中，得BE=4，AB
9、=2BE=8故选：D点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握5如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）AAE=BEB=COE=DEDDBC=90考点：垂径定理；圆周角定理专题：几何图形问题分析：由于CDAB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90解答：解：CDAB，AE=BE，=，CD是O的直径，DBC=90，不能得出OE=DE故选：C点评：本题考查了垂径定理解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容6如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得
10、的弦AB的长为，则a的值是（）A4BCD考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理专题：计算题；压轴题分析：PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形由PEAB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在RtPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+解答：解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，P的圆心坐标是（3，a），OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，D点坐标为（3，3），CD=3，OCD为等腰直角三角形，PED也
11、为等腰直角三角形，PEAB，AE=BE=AB=4=2，在RtPBE中，PB=3，PE=，PD=PE=，a=3+故选：B点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质7已知O的面积为2，则其内接正三角形的面积为（）A3B3CD考点：垂径定理；等边三角形的性质专题：几何图形问题分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作ODBC于D，O的面积为2O的半径为ABC为正三角形，BOC=120，BOD=BOC=60，OB=，BD=OBsinBOD=，BC=2BD=，O
12、D=OBcosBOD=cos60=，BOC的面积=BCOD=，ABC的面积=3SBOC=3=故选：C点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键8如图，半径为3的O内有一点A，OA=，点P在O上，当OPA最大时，PA的长等于（）ABC3D2考点：垂径定理；圆周角定理分析：当PAOA时，PA取最小值，OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可解答：解：OA、OP是定值，在OPA中，当OPA取最大值时，PA取最小值，PAOA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，PA=故选B点评：本题考查了解直角三角形解答此
13、题的关键是找出“当PAOA时，PA取最小值”即“PAOA时，OPA取最大值”这一隐含条件二填空题（共6小题）9如图，已知直线AB与O相交于A、B两点，OAB=30，半径OA=2，那么弦AB=2考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：过O作OCAB于C，根据垂直和垂径定理求出AB=2AC，OCA=90，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=1，根据勾股定理求出AC，即可得出答案解答：解：过O作OCAB于C，则AB=2AC，OCA=90，OA=2，OAB=30，OC=1，由勾股定理得：AC=，AB=2AC=2，故答案为：2点评：本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定
14、理的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出AC的长和得出AB=2AC，注意：垂直于弦的直径平分这条弦10如图，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若CD=8，则ACD的面积是32考点：垂径定理；勾股定理分析：连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论解答：解：连接OD，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，CD=8，PD=CD=4，OP=3，AP=OA+OP=5+3=8，SACD=CDAP=88=32故答案为：32点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键11如图，AB、C
15、D是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为考点：垂径定理；轴对称的性质分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，OE=3，OF=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为故答案为：点评：正确理解BC的长是PA+PC
16、的最小值，是解决本题的关键12如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=2230，则O的半径为2cm考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理专题：计算题分析：先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45，再根据垂径定理得到BE=AB=，且BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解解答：解：连结OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，ABCD，BE=AE=AB=2=，BOE为等腰直角三角形，OB=BE=2（cm）故答案为：2点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直角三角形的性质和圆周
17、角定理13如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB=45，则四边形MANB面积的最大值是4考点：垂径定理；圆周角定理专题：计算题分析：过点O作OCAB于C，交O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得AOB=2AMB=90，则OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=SMAB+SNAB，而当M点到AB的距离最大，MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SDAB+SEAB=ABCD
18、+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=24=4解答：解：过点O作OCAB于C，交O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，AMB=45，AOB=2AMB=90，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=2，S四边形MANB=SMAB+SNAB，当M点到AB的距离最大，MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=24=4故答案为：4点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查
19、了圆周角定理14如图，AB是O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为8考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理专题：计算题分析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得BOE=COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得ODBC，BD=CD在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长解答：解：连接OC，如图所示点E是的中点，BOE=COEOB=OC，ODBC，BD=DCBC=6，BD=3设O的半径为r，则OB=OE=rDE=1，OD=r1ODBC即BDO=90，OB2=BD2+OD2O
20、B=r，OD=r1，BD=3，r2=32+（r1）2解得：r=5OD=4AO=BO，BD=CD，OD=ACAC=8点评：本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性三解答题（共7小题）15如图，AB是O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD求证：OCD是等腰三角形考点：垂径定理；等腰三角形的判定专题：证明题分析：过O作OEAB于E，根据垂径定理求出AE=BE，求出CE=DE，根据线段垂直平分线性质求出OD=OC，即可得出答案解答：证明：过O作OEAB于E，则AE=BE，AD=BC，ADDC=BCDC，AC=DE
21、，CE=DE，OECD，OC=OD，即OCD是等腰三角形点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出CE=DE16已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长考点：垂径定理；勾股定理专题：几何综合题分析：（1）过O作OEAB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AECE即可得出结论
22、解答：（1）证明：过O作OEAB于点E，则CE=DE，AE=BE，BEDE=AECE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OEAB且OECD，连接OC，OA，OE=6，CE=2，AE=8，AC=AECE=82点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆心O，连接MB（1）若CD=16，BE=4，求O的直径；（2）若M=D，求D的度数考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理专题：几何综合题分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由M=D，DO
23、B=2D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）ABCD，CD=16，CE=DE=8，设OB=x，又BE=4，x2=（x4）2+82，解得：x=10，O的直径是20（2）M=BOD，M=D，D=BOD，ABCD，D=30点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；18如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围考点：垂径定理；勾股定理专题：几何图形问题分析：过点O作OEAB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出
24、结论解答：解：过点O作OEAB于点E，连接OB，AB=8cm，AE=BE=AB=8=4cm，O的直径为10cm，OB=10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键19如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，PB与CD交于点F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5，O的半径R=2，求劣弧AC的长度考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算专题：几何图形问题分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出PBC=D，再由等量代换得出C=D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明
25、CBPD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出BOC=2PBC=45，再根据邻补角定义求出AOC=135，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度解答：解：（1）PBC=D，PBC=C，C=D，CBPD；（2）连结OC，ODAB是O的直径，弦CDAB于点E，=，PBC=C=22.5，BOC=BOD=2C=45，AOC=180BOC=135，劣弧AC的长为：=点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中（2）中求出AOC=135是解题的关键20如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，（1）求AB的长；（2）求O的半径考点：垂径定理；等边三角形
26、的判定与性质分析：（1）先根据CD为O的直径，CDAB得出=，故可得出C=AOD，由对顶角相等得出AOD=COE，故可得出C=COE，再根据AOBC可知AEC=90，故C=30，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；（2）在RtOCE中根据C=30即可得出OC的长解答：解：（1）CD为O的直径，CDAB，=，AF=BF，C=AOD，AOD=COE，C=COE，AOBC，AEC=90，C=30，BC=2，BF=BC=，AB=2BF=2；（2）AOBC，BC=2，CE=BE=BC=，C=30，OC=2，即O的半径是2点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
27、对的两条弧”是解答此题的关键21已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：（1）过点O作OHEF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可解答：解：（1）过点O作OHEF，垂足为点H，OHEF，AHO=90，在RtAOH中，AHO=90，PAQ=30，OH=AO，BC=10cm，BO=5cmAO=AB+BO，AB=3cm，AO=3+5=8cm，OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm（2）连接OE，在RtEOH中，EHO=90，EH2+HO2=EO2，EO=5cm，OH=4cm，EH=3cm，OH过圆心O，OHEF，EF=2EH=6cm点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中
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