1、2012版高三数学一轮精品复习学案：集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【高考目标导航】一、考纲点击1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解全称量词与存在量词的意义；3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。二、热点、难点提示1、本部分高考考查的主要内容是全称量词与存在量词，全称命题与特称命题，特别是两种命题的否定命题的写法和判断；2、在高考试题中多以选择、填空题为主，一般不会出现解答题。【考纲知识梳理】1、命题的真假判断“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： pp真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假假假真假假假假“
2、p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqPq真真真真假真假真真假假假注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。2、全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“”表示； 存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符
3、号简记为：读作：“对任意x属于M，有p（x）成立”。（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”可用符号简记为： x0M，p（x0），读作：“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”。3、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定 x0M，p（x0） x0M，p（x0）注：全称命题与特称命题的否定有什么关系？（全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题）。【要点名师透析】一、对“或”“且”“非”的理解1、相关链接（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念；在AB=x|xA或xB中的“或”是指“x
4、A”与“xB”中至少有一个成立，可以是“”，也可以是 “”，也可以是 “”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念；在AB=x|xA且xB中的“且”是指：“xA”、“xB”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B。（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集，对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。2、“Pq”、“ pq”、“ p” 形式命题真假的判断步骤（1）确定命题的
5、构成形式；（2）判断其中命题P 、q的真假； （3）确定“Pq”、“ pq”、“ p”形式命题的真假。3、例题解析例1写出由下述各命题构成的“Pq”，“ pq”，“ p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数（2）p：方程x21=0的解是x=1，q：方程x21=0的解是x=1；（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整Pq：9是144或225的约数； pq：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； p：9不是14
6、4的约数. p真，q真，“Pq”为真，“pq” 为真，而“p”为假.（2）Pq：方程x21=0的解是x=1,或方程x21=0的解是x=1（注意，不能写成“方程x21=0的解是x=1”，这与真值表不符）；pq：方程x21=0的解是x=1,且方程x21=0的解是x=1；p：方程x21=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；p假，q假，“Pq”与，“pq” 均为假，而“p”为真.（3）Pq：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； pq：实数的平方都是正数且实数的平方都是0； p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）； p假，q假，“Pq”与“pq”
7、均为假，而“p”为真.注：在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。二、全（特）称命题及真假判断1、相关链接（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立.（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可；（3）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题。2、例题解析例试判断下列命题的真假（1） （2）（3） （4）分析：明确变量的范围，然后判断等式或不等式是否成立，从而得到命题的真假。
8、解答：（1）由于，都有，因而有，即。所以命题“”是真命题。（2）（3）（4）三、全（特）称命题的否定1、相关链接（1）全称命题（特称命题）的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题（特称命题）的否定是其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可，从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。（2）常见词语的否定形式有：原语句是都是 至少有一个至多有一个对任意使真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在使假2、例题解析例1写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题。（1）所有的有理数是
9、实数；（2）有的三角形是直角三角形；（3）每个二次函数的图象与轴相交；（4）分析：否定量词否定判断词写出命题的否定判断命题真假。解答：（1）p：存在一个有理数不是实数。为假命题，属特称命题；（2）p：所有的三角形都不是直角三角形。为假命题，属于全称命题；（3）p：为真命题，属特称命题。例2写出下列命题的否定并判断其真假（1）p：存在一些四边形不是平行四边形；（2）p：所有的正方形都是矩形；（3）p：至少有一个实数，使；（4）p：解答：四、与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题例1（12分） 分析：（1）已知的两个命题是全称命题和特称命题；（2）根据“p且q”是真命题来确定a的不等式，从而求
10、出a的取值范围。解答：由“p且q” 是真命题，则p为真命题，q也为真命题.若p为真命题,ax2恒成立,x1,2,a1.若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,=4a2-4(2-a)0,即a1或a-2,综上所求实数a的取值范围为a-2或a=1.注:含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.例2已知两个命题r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对xR,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 分析：由已知先求出对xR,r(x) ，s(x)都是真命题时m的范围，再由
11、要求分情况讨论出所求m的范围.解答：sinx+cosx=当r(x)是真命题时，m0恒成立，有=m2-40,-2m2.当r(x)为真，s(x)为假时，m.同时m-2或m2，即m-2，当r(x)为假，s(x)为真时，m且-2m2，即m2.综上，实数m的取值范围是m-2或m0 B. ,C , D. ,4. （2010安徽文数）(11)命题“存在，使得”的否定是 11.对任意，都有.【解析】特称命题的否定时全称命题，“存在”对应“任意”.【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“0 （B）存在R, 0 （C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, 0【考点定位】本
12、小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。7.【考点模拟演练】一、选择题1(2011届江西吉安高三二模拟)已知命题：p：函数在区间内存在零点，命题q：存在负数x使得，给出下列四个命题p或q；p且q；p的否定；q的否定，真命题的个数是（ ）A1B2C3D4答案：B2将“x2+y22xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A，都有 B，都有C，都有 D，都有答案：A3判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A所有奇数都是质数 BC对每个无理数x，则x2也是无理数 D每个函数都有反函数答案：B4下列命题中的假命题是（ ）A存在实数和，使cos(+)=coscos+
13、sinsinB不存在无穷多个和，使cos(+)=coscos+sinsinC对任意和，使cos(+)=coscossinsinD不存在这样的和，使cos(+) coscossinsin答案：B5. 命题“方程的解是”中，使用逻辑词的情况是（ ） A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“或” C. 使用了逻辑联结词“且” D. 使用了逻辑联结词“或”与“且”答案：B6(2011届福建省三明市高三三校联考（文）)已知命题：，则( ) A BC D答案：A7.“”的含义为（ A ）A不全为0 B 全不为0 C至少有一个为0 D不为0且为0，或不为0且为0答案：提示: ,于是就是对即都为0的否定
14、, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应该是“不全为0”.8(2011届厦门市高三质检（文）)下列命题中，真命题是（ C ）AB命题“若”的逆命题CD命题“若”的逆否命题答案：C 9. （2011届长沙等四县市3月高三调研（文）下列说法中，正确的是（ B ） A命题“若，则”的逆命题是真命题B命题“，”的否定是：“，”C命题 “或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D已知，则“”是“”的充分不必要条件答案：B10. 命题p：“不等式的解集为”；命题q：“不等式的解集为”，则 （ ）Ap真q假Bp假q真C命题“p且q”为真D命题“p或q”为假答案：D提示：不等式的解集为,故命题p
15、为假;不等式的解集为,故命题q为假.于是命题“p或q”为假.11、(2011届湖南省十二校高三第二次联考) 下列命题中的真命题是（ ）A.，使得 B.C. D.答案：C12、下列说法错误的是： （ ）A命题“”的逆否命题是：“”.B“x1”是“”的充分不必要条件.C若且为假命题，则均为假命题.D命题 ，则.答案：C提示: 若且为假命题，则与的真假包括两种情况：其中可以有一个是真命题，或者与都是假命题二、填空题 13、（2011届怀柔区一模(理)）命题：的否定是 答案: ,14、 (2011届江西省“八校” 高三联考)下列命题：命题：，满足，使命题为真的实数的取值范围为；代数式的值与角有关；将函
16、数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；已知数列满足：，记，则；其中正确的命题的序号是 （把所有正确的命题序号写在横线上） 答案： 15、(2011届福建省莆田市高三质检)已知向量是平面内的一组基底，向量，对于平面内异于的不共线向量，现给出下列命题： 当分别与对应共线时，满足的向量有无数组； 当与均不共线时，满足的向量有无数组；当分别与对应共线时，满足的向量不存在；当与共线，但向量与向量不共线时，满足的向量有无数组。其中真命题的序号是 。（填上所有真命题的序号）答案：16、已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_.提示： 由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有，可解得三、解答题17、 已知命题p：不等式|x1|m1的解集为R，命题q：f(x)=(52m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.解答：不等式|x1|m1的解集为R，须m10即p是真 命题，m1即q是真命题，m2由于p或q为真命题，p且q为假命题 故p、q中一个真，另一个为假命题 因此，1m2.18、(2011届福建四地六校高三联考)（13分）设命题：函数f(x)=x3-ax-1在区间上单调递减；命题：函数的值域是如果命题为真命题，为假命题，求的取值范围综上所述： -13分