1、2015-2016学年广西师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题5*121已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=2，4，6，B=1，2，5，则A（UB）等于（）A2B4，6C2，3，4，6D1，2，4，5，62方程组的解集是（）A（2，1）B2，1C（2，1）D1，23下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）ABCD4函数f（x）=+的定义域为（）A（2，+）B（，0）C（0，2）D0，25如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（） x45678910y15171921232527A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型D对数函数模型62log5
2、10+log51.25=（）A4B3C2D17根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为（） x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）8若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc9已知：集合A=a，b，c，B=0，1，2，在映射f：AB中，满足f（a）f（b）的映射有（）个A27B9C3D110已知a=21.2，b=（）0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCcb
3、aDbca11如右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）ABCD12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x），且f（x+2）=f（x），当x1，0时，f（x）=（）x1，若在区间1，5内函数F（x）=f（x）logax有三个零点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（1，5）C（2，3）D（3，5）二、填空4*513若指数函数y=f（x）的图象过点（1，2），则f（2）=14已知集合A=1，0，1，集合B满足AB=1，0，1，则集合B有个15关于x的不等式2x2x+
4、1解集是16若函数f（x）=loga（ax22x+1）在区间2，3是减函数，则a取值范围为三、解答题7017化简求值（1）2（2）（log43log83）（log32+log92）18已知：定义在R上的二次函数f（x）满足：f（1）=f（3），f（x）min=1，f（0）=5（1）求f（x）的表达式；（2）求满足f（a）2时，实数a的取值范围19已知函数f（x）=x+（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在区间2，+）上是增函数20某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元
5、，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21已知函数f（x）=，（1）画出函数f（x）的图象；（2）求f（f（3）的值；（3）求f（a2+1）（aR）的最小值22对于函数y=f（x）（xD），若同时满足下列条件：f（x）在D内是单调函数；存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，那么y=f（x）叫做闭函数（1）判断函数f（x）=x2是否为闭函数，并说明理由；（2）是否存在实数a，b使函数y=x3+1是闭函数；（3）若y=k+为闭函数，求实数k的取值范围2015
6、-2016学年广西师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题5*121已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=2，4，6，B=1，2，5，则A（UB）等于（）A2B4，6C2，3，4，6D1，2，4，5，6【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；数学模型法；集合【分析】直接由集合的运算性质得答案【解答】解：由全集U=1，2，3，4，5，6，A=2，4，6，B=1，2，5，UB=3，4，6则A（UB）=2，4，63，4，6=4，6故选：B【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题2方程组的解集是（）A（2，1）B2，1C（2，1）D1，2【考点】两条直线的交点坐标
7、【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆【分析】先解方程，得到方程组得解，再根据其解集为一对有序实数对，即可得到答案【解答】解：方程组，解得x=2，y=1，方程组的解集是（2，1），故选：C【点评】本题考查了直线的交点的坐标的集合表示方式，属于基础题3下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）ABCD【考点】函数的图象；函数的概念及其构成要素【专题】数形结合【分析】根据函数的概念得：因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，结合图象特征进行判断即可【解答】解：根据函数的定义知：自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值
8、与其相对应从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点从而排除A，B，C，故选D【点评】本小题主要考查函数的图象、函数的图象的应用、函数的概念及其构成要素等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x）4函数f（x）=+的定义域为（）A（2，+）B（，0）C（0，2）D0，2【考点】函数的定义域及
9、其求法【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，得，即0x2，即函数的定义域为0，2，故选：D【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件5如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（） x45678910y15171921232527A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型D对数函数模型【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】压轴题；图表型【分析】利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以确定该函数模型是一次函数模型【解答
10、】解：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型故选A【点评】本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律从而确定出该函数的类型62log510+log51.25=（）A4B3C2D1【考点】对数的运算性质【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：2log510+log51.25=log5100+log51.25=log5125=3故选：B【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力7根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为（） x10
11、123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系【专题】计算题【分析】令f（x）=exx2，方程exx2=0的根即函数f（x）=exx2的零点，由f（1）0，f（2）0知，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2）【解答】解：令f（x）=exx2，由图表知，f（1）=2.723=0.280，f（2）=7.394=3.390，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2），故选 C【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件8若四个幂函数y=
12、xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc【考点】幂函数的性质；不等式比较大小【专题】数形结合【分析】记住幂函数a=2，a=，a=1，a=的图象，容易推出结果【解答】解：幂函数a=2，b=，c=，d=1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd故选B【点评】本题考查幂函数的基本知识，在第一象限内，x1时，图象由下至上，幂指数增大，是基础题9已知：集合A=a，b，c，B=0，1，2，在映射f：AB中，满足f（a）f（b）的映射有（）个A2
13、7B9C3D1【考点】映射【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用【分析】根据映射的定义，结合函数值的大小关系进行求解即可【解答】解：f（a）f（b），若f（a）=2，则f（b）=1或f（b）=0，此时f（c）=0或1或2，有23=6种，若f（a）=1，则f（b）=0，此时f（c）=0或1或2，有3种，共有3+6=9种，故选：B【点评】本题主要考查映射个数的计算，根据函数值的大小关系进行分类讨论是解决本题的关键10已知a=21.2，b=（）0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCcbaDbca【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数的运算
14、法则、对数函数的单调性即可得出【解答】解：b=（）0.2=20.221.2=a，ab1c=2log52=log541，abc故选：C【点评】本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题11如右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】作图题【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可【解答】解：根据题意得f（x）=，分段函数图象分段画即可，故选A【点评】本题主要考查了
15、分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x），且f（x+2）=f（x），当x1，0时，f（x）=（）x1，若在区间1，5内函数F（x）=f（x）logax有三个零点，则实数a的取值范围为（）A（，2）B（1，5）C（2，3）D（3，5）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】根据条件判断函数的奇偶性和周期性，求出函数在一个周期内的解析式和图象，利用函数与方程之间的关系，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可【解答】解：由f（x）=f（x）得函数f（x）是偶函数，由f（x+
16、2）=f（x），得函数的周期为2，若当x0，1，则x1，0，即此时，f（x）=（）x1=2x1，x0，1，由F（x）=f（x）logax=0，则f（x）=logax，作出函数f（x）和y=logax在区间1，5上的图象如图：若0a1，此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件若a1，若两个函数图象只有3个交点，则满足，即，解得3a5，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键二、填空4*513若指数函数y=f（x）的图象过点（1，2），则f（2）=4【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题；函数思想；定义法
17、；函数的性质及应用【分析】设函数f（x）=ax，a0 且a1，把点（1，2），求得a的值，可得函数的解析式，代值计算即可【解答】解：设函数f（x）=ax，a0 且a1，把点（1，2），代入可得 a1=2，求得a=2，f（x）=2x，f（2）=22=4故答案为：4【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题14已知集合A=1，0，1，集合B满足AB=1，0，1，则集合B有8个【考点】并集及其运算【专题】集合思想；数学模型法；集合【分析】集合A=1，0，1，集合B满足AB=1，0，1，故集合B是集合A的子集，根据集合A中元素的个数，能够求出集合B的个数【解答】解：集合A=
18、1，0，1，集合B满足AB=1，0，1，集合B是集合A的子集，集合A有3个元素，集合A有23=8个子集故集合B有8个故答案为：8【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题15关于x的不等式2x2x+1解集是x|x1【考点】其他不等式的解法【专题】整体思想；换元法；不等式的解法及应用【分析】换元法结合指数函数的单调性可得【解答】解：令2x=t，则原不等式可化为t2t，解得t，即2x=21，由指数函数y=2x单调递增可得x1故答案为：x|x1【点评】本题考查指数不等式的解集，涉及指数函数的单调性，属基础题16若函数f（x）=loga（ax22x+1）在区间2，3是减函数，则a取值范围为（，1）【
19、考点】复合函数的单调性【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】令t=ax22x+1，则t0在区间2，3上恒成立再分0a1、a1两种情况，分别根据二次函数的单调性、对数函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论【解答】解：函数f（x）=loga（ax22x+1）在区间2，3是减函数，令t=ax22x+1，则t0在区间2，3上恒成立当0a1时，f（x）=g（t）=logat，故二次函数t在区间2，3上为增函数，再根据二次函数t的图象的对称轴为x=1，故有，求得a1；当a1时，根据二次函数t的图象的对称轴为x=1，故二次函数t在区间2，3上为增函数，函数f（x）=loga（ax22x+1）在
20、区间2，3是增函数，不满足条件综上可得，a取值范围为（，1），故答案为：（，1）【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题7017化简求值（1）2（2）（log43log83）（log32+log92）【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用根式、分数指数幂互化公式和有理数指数幂性质、运算法则求解（2）利用对数性质、运算法则、换底公式求解【解答】解：（1）2=23=6（2）（log43log83）（log32+log92）=（log6427log649）（l
21、og94+log92）=log643log98=【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则和换底公式的合理运用18已知：定义在R上的二次函数f（x）满足：f（1）=f（3），f（x）min=1，f（0）=5（1）求f（x）的表达式；（2）求满足f（a）2时，实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）先求出对称轴，在由题意设f（x）=a（x2）2+1，再代入f（0）=5，即可求出（2）根据f（a）2，得到关于a的不等式，解得即
22、可【解答】解：（1）由f（1）=f（3），可知f（x）的对称轴为x=2，f（x）min=1，可设f（x）=a（x2）2+1，f（0）=5，a（02）2+1=5，解得a=1，f（x）=（x2）2+1=x24x+5，（2）满足f（a）2时，则a24a+52，即a24a+30，即（a1）（a3）0，解得1a3，实数a的取值范围为（1，3）【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法和不等式的解法，属于基础题19已知函数f（x）=x+（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在区间2，+）上是增函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】（1）先求f（x）定义域
23、为x|x0，容易得到f（x）=f（x），从而f（x）为奇函数；（2）根据增函数的定义，设任意的x1x22，然后作差，通分，提取公因式x1x2，从而证明f（x1）f（x2），这便可得出f（x）在2，+）上是增函数【解答】解：（1）f（x）的定义域为x|x0；f（x）=x=f（x）；f（x）为奇函数；（2）证明：设x1x22，则：=；x1x22；x1x20，x1x24，；f（x1）f（x2）；f（x）在2，+）上是增函数【点评】考查函数奇偶性的定义，以及判断函数奇偶性的方法和过程，增函数的定义，及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的
24、一般要通分，一般要提取公因式x1x220某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义【专题】应用题；压轴题【分析】（）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先
25、的原则作为应用题要注意下好结论【解答】解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车（）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值特别是二次函数的知识得到了充分的考查在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究21已知函数f（x）=，（1）画出函数f（x）的图象；（2）求f（f（3）的值；
26、（3）求f（a2+1）（aR）的最小值【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】（1）分段作图；（2）求出f（3）的值，判断范围，进行二次迭代；（3）求出a2+1的范围，根据图象得出结论【解答】解：（1）作出函数图象如右图所示，（2）f（3）=log23，0f（3）2，f（f（3）=f（log23）=2=（3）由函数图象可知f（x）在1，2上是减函数，在（2，+）上是增函数，a2+11，当a2+1=2时，f（a2+1）取得最小值f（2）=1【点评】本题考查了分段函数作图，函数求值及单调性，结合函数图象可快速得出结论22对于函数y=f（x）（
27、xD），若同时满足下列条件：f（x）在D内是单调函数；存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，那么y=f（x）叫做闭函数（1）判断函数f（x）=x2是否为闭函数，并说明理由；（2）是否存在实数a，b使函数y=x3+1是闭函数；（3）若y=k+为闭函数，求实数k的取值范围【考点】函数与方程的综合运用【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】（1）根据f（x）在定义域R上不单调，即可得出结论（2）假设存在实数a，b使函数y=x3+1是闭函数，根据函数的单调性列出方程组是否有解；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论【解答】解：（1）f（x）=x2在（，0）上单调
28、递减，在（0，+）上单调递增，f（x）=x2在定义域R上不满足条件，f（x）=x2不是闭函数（2）假设存在a，b使函数y=x3+1是闭函数，y=x3+1是减函数，即，解得a=0，b=1存在实数a，b使函数y=x3+1是闭函数；（3）y=k+的定义域为2，+）若y=k+为闭函数，则存在区间a，b2，+），使f（x）在a，b上的值域为a，by=k+在定义域上是增函数，即方程f（x）=x在区间2，+）上有两不相等的实根k+=x在2，+）上有两个不相等的实数根令=t，则x=t22，t22tk=0有两个不相等的非负根，令g（t）=t2tk2=（t）2k，则即，解得k2【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大
