1、普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(五)本试卷分第卷（选择题共60分）和第卷（非选择题共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第卷(选择题共60分)注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重
2、复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,3,4,集合B=2,3,5,那么(UA)( UB)等于A.B.4C.1,3D.2,5解析: (UA)(UB)=2,51,4=.答案: A2.若函数y=f(x+1)的定义域是2,3,则y=f(2x1)的定义域为A.0,B.1,4C.5,5D.3,7解析: x2,3,x+11,4.令12x14,解得x0,.答
3、案: A3.设i、j分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,则ABC的面积等于A.15B.10C.7.5D.5解析: 如图,A(0,0)、B(4,2)、C(3,4),延长CB交x轴于D,则D(5,0).SABC=SACDSABD=5(42)=5(平方单位).4.二项式(x)n的展开式中含有x4的项,则n的一个可能取值是A.1B.3C.6D.10解析:通项Tr+1=(-1)rx-(n-r)(x)r=(-1)r(r=0,1,n).又-n=4,rn,nN*,当n=6时,r=40(i=1,2,3,),若a1=b1,a11=b11,则A.a6=b6B.a6b6C
4、.a6b6或a60,q1,b1b6.a6=b6.答案: B6.函数f(x)=cos2()+sin2(+ )1是A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数解析: f(x)=cos2()+sin2(+)1=cos(x)cos(x+)=sinx, f(x)=sin(x)=sinx=f(x),是奇函数,最小正周期T=2.答案: C7.空间四边形四条边所在的直线中,互相垂直的直线最多有A.2对B.3对C.4对D.5对解析: 如下图,AB平面BCD,CDBC,此时垂直直线对数最多,为3对,即AB与BC,AB与CD,BC与CD.(注:AB与BD不符合
5、题目要求)答案: B8.设F1、F2是双曲线y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当PF1F2的面积为1时,、的值为A.0B.1C. D.2解析: =b2cot=1,(0,),cot=1,=90.=0.答案: A9.下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:行政区代号x1x2x3x4x5x6x7人口（万）63.4659.44103.2338.1121.676.466.61面积(万 km2)0.330.200.450.150.070.020.02经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是A.x2B.x3C.x5D.x7解析: xi区的人口密度为ai(i=1,2,7),a1=192.
6、30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a5=309.57,a6=323.00,a7=330.50.答案: D10.若M是ABC的重心,则下列向量中与共线的是A.+B.+C.+D.3+解析: 延长AM至D交BC于E,使AE=ED,AD=3AM.又ABCD为平行四边形,3+=+=.答案: D11.将有编号的7个球全部投入到甲、乙两个盒子中,每个盒子至少投入2个球,那么互不相同的投入方法共有_种.A.252B.112C.70D.56解析: 7个球投入两个盒中有27种投法,其中一个盒空的投法有2种,一盒中仅有一个的投法有=14种,符合题意的方法有27214=112(种).答
7、案: B12.函数f(x)的定义域为D,若满足f(x)在D内是单调函数,存在a,bD,使f(x)在a,b上的值域为a,b,那么y=f(x)叫做闭函数,现有f(x)=+k是闭函数,那么k的取值范围是A.(,+)B.,+)C.,)D.(,2解析: f(x)=+k=x有两不等实根.x2(2k+1)x+k22=0(),故解得k(,2.答案: D普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(五)第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.如下是一个
8、容量为200的样本的频率分布直方图,根据图中数据填空:(1)样本数据落在范围5,9)的频率为_;(2)样本数据落在范围9,13)的频数为_.解析: 频率=0.08(95)=0.32;频数=0.09(139)200=72.答案: 0.327214.设a、bR,nN*且a+2i=,则=_.解析: a+2i=,所以3a+2+(6a)i=1+bi,=1.答案: 115.动点P在抛物线y=x2+1上运动,则动点P和两定点A(1,0)、B(0,1)所成的PAB的重心的轨迹方程是_.解析: 设重心(x,y),此时P(x0,y0),则P在抛物线上,3y+1=(3x+1)2+1.整理得y=3x2+2x+.答案:
9、 y=3x2+2x+16.正四面体ABCD中,S为AD的中点(如图),Q为BC上异于中点和端点的任一点,则SOD在四个面上的射影可能是_. 解析: 在平面ABC上射影为,在平面BCD上射影为.答案: 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,当a2b2+c2,且=时,求cosAsinA的值.解:由a20,A为锐角.=cosAsinA=sin2A,sin2A=.sin2A=.6分sin2A+cos2A=1,2sinAcosA=,(cosAsinA)2=1=.cosAsinA=.12分18
10、.(本小题满分12分)已知a0,函数f(x)=,x(0,+).设0x1,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1)处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴的交点为(x2,0),证明:0x2;若x1,则x1x2.(1)解:求f(x)的导数:f(x)=,由此得切线l的方程y()=(xx1).5分(2)证明:依题意,切线方程中令y=0,x2=x1(1ax1)+x1=x1(2ax1).其中0x1.由0x10及x2=a(x1)2+.故0x2,当且仅当x1=时,x2=.8分当x1时,ax1x1,且由x2.综上x1x2.12分19.(本小题满分12分)如下图所示,四棱锥PABCD中,PC平面ABCD
11、,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在线段PB上,PB与平面ABC成30角.(1)若PB=4PM,求证:CM平面PAD;(2)求证:平面PAB平面PAD;(3)若点M到平面PAD的距离是,问点M位于线段PB上哪一位置?解法一:(1)在AB上取一点E,使得AE=1,则CEAD.又AB=4AE,PB=4PM,EMPA.平面PAD平面MEC.MC平面PAD.4分(2)分别取PA和AD的中点F、G,连结BF、FG、BG.PB与平面ABC成30角,PBC=30.PB=4,PB=AB.BFAP.又FG=DP=,AB面PBC,ABPB,BF=2.在直角梯形ABCD中,计算得
12、BG=.FG2+BF2=BG2,BFFG,BF平面PAD.面PAB面PAD.8分(3)过点M在平面PAB内作MNPA,点M到面PAD的距离即为点N到面PAD的距离.再过点N作NOPA,由面PAB面PAD,NO即为点N到面PAD的距离.NO=.NOBF,点N为AB的中点.点M为PB的中点.或直接作MNPA于点N,MN=.又MNBF,N为PF的中点.点M为PB的中点.12分解法二:(1)以C为原点,CD、CB、CP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,PC平面ABCD,PBC=30.|PC|=2,|BC|=2,|PB|=4.D(1,0,0)、B(0,2,0)、A(4,2,0)、P(0,0,
13、2).PB=4PM,M(0, ),=(0, ),=(1,0,2),=(3,2,0).设=x+y (x、yR),则(0, )=x(1,0,2)+y(3,2,0),=+.、共面.C平面PAD,CM平面PAD.4分(2)作BEPA于E,PB=AB=4,E为PA的中点.E(2, ,1), =(2,1).=(2,1)、(3,2,0)=0,BEDA.又BEPA,BE面PAD.面PAB面PAD.8分(3)设=(0,2,2)=(0,2,2),BE面PAD,平面PAD的法向量n=(2,1),点M到平面PAD的距离d=.= (负的舍去),即点M为线段PB的中点.12分说明:本题主要考查空间线面关系和四棱锥等基础知
14、识,考查空间想象能力和推理运算能力.20.(本小题满分12分)用2n个相同的元件连接成两个系统N1、N2,如果各元件是否能正常工作是独立的,每个元件能正常工作的概率为r.(1)当n=2时,分别求系统N1、N2正常工作的概率;(2)当n2时,求系统N1、N2正常工作的概率,并比较哪一个系统正常工作的概率大.解:(1)n=2,N1系统正常工作的概率:P=1(1r2)2=2r2r4.2分N2系统正常工作的概率:P=1(1r)22=r44r3+4r2.4分(2)n2,nN*,N1系统正常工作的概率:P1=1(1rn)2=2rnr2n,N2系统正常工作的概率:P2=1(1r)2n=(2rr2)n.6分当
15、n2,nN*时,P1P2,即2rnr2n0,P2P1,命题成立.假设当n=k(k2且kN*)时命题成立,即(2rr2)k2rkr2k,则当n=k+1时,(2rr2)k+1(2rk+1r2k+2)(2rkr2k)(2rr2)(2rk+1r2k+2)=2r2k+22r2k+1+2rk+12rk+2=2(1r)(rk+1r2k+1),r(0,1),1r0.又0k+10.2(1r)(rk+1r2k+1)0.P2P1.故当n=k+1时命题亦成立.综上所述,对于一切n2,nN*,均有(2rr2)n2rnr2n成立.故P2P1.从而可知,N2系统正常工作的概率大.12分21.(本小题满分12分)已知双曲线C
16、:=1(a0,b0),B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足|,|,|成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:=;(2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E,求双曲线C的离心率e的取值范围.(1)证明:由题得B(a,0)、F(c,0)(c=,|=|2.故|=.A(,0).双曲线一、三象限渐近线l:y=x,故l:y=(xc).联立l、l的方程解得其交点P的坐标为(,).=, =.=,命题得证.6分(2)解:设D(x1,y1)、E(x2,y2),联立l与C的方程消去y得(b4a4)x22a4cxa4c2a2b4=0.由题设条件l与双曲线C
17、的左右两支分别相交于点D、E,可得方程组由得ba0,此时恒成立.故(,+),即e(,+).综上,双曲线C的离心率的范围为(,+).12分22.(本小题满分14分)已知数列f(n)的前n项和为Sn,若Sn+f(n)=(n2+3n2).(1)设f(n)=ng(n),求g(1),g(2),g(3).(2)是否存在g(n)使得对于一切正整数n,都有f(n)=ng(n)成立?论证你的结论.(3)设数列b1=f(1),bn=f(n)f(n1)1(n2),求(b1+b2+b3+bn).解:Sn=(n2+3n2)f(n),Sn+1=(n+1)2+3(n+1)2f(n+1).得2f(n+1)f(n)=n+2.(
18、1)由得2n+1f(n+1)=nf(n),2g(n+1)=g(n),g(1)=1f(1)=1S1.g(1)= .g(n)=()n,g(1)=,g(2)=,g(3)=.4分(2)存在g(n)=满足题意,f(n)=ng(n).现用数学归纳法证明如下:当n=1时,f(1)=g(1),f(1)=1g(1),命题成立.假设当n=k(kN*)时命题成立,即f(k)=kg(k).则当n=k+1时,由得2f(k+1)=f(k)+k+2=2k+2g(k),f(k+1)=k+1g(k)=k+1.f(k+1)=k+1g(k+1).故当n=k+1时,命题亦成立.综上所述,对于一切nN*,当g(n)=时,f(n)=ng(n)均成立.故存在g(n)=满足题意.9分(3)bn=f(n)f(n1)1(n2),bn+1=f(n+1)f(n)1(n1).将代入得bn+1=n+1f(n+1).由(1)(2)可知bn+1=(n1).又b1=f(1)=,故bn=(nN*).(b1+b2+bn)= ( +)=(1)=1.14分