1、 东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，集合，则=（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限开始输入是否输入结束（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（A）或 （B）或
2、 （C）或 （D）或 (4) 如果实数，满足条件 则的最大值为（A） （B） （C） （D）（5）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A） （B） （C） （D）（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（A） （B） （C） （D）（7）若直线（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或（8）对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知，那么 （10）已知平面向量，
3、若，则 ；向量，夹角的大小为 （11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_（12）如图所示，与圆相切于，直线交圆于，两点，垂足为，且是的中点，若，则 ABCPDO （13）若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，若，则的值是 （14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若，则满足条件的点的个数为_；若满足的点的个数为，则的取值范围是_ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数.（）求的值；（）当时，求函数的最大值和最小值（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡
4、导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.（）求随机抽取的市民中年龄段在的人数； （）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数；（）从按（）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段的人数，求的分布列及数学期望0.0200.02510 20 30 40 50 600.0150.005频率组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥中，平面平面,/ ,且，.（I）求证：平面；（II）求和平面所成角的正弦值；DCBEA（III）在
5、线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.（18）（本小题共13分）已知，函数，. （）求函数的单调区间；（）求证：对于任意的，都有.（19）（本小题共13分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为 （）求椭圆方程；（）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若为等边三角形，求直线的方程. （20）（本小题共14分）设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）（）求，；（）若，求证：；（）当时，求证：存在，使得东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （
6、3）C （4）D（5）D （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（） 所以 7分（）当时，所以，当时，即时，函数取得最小值；当时，即时，函数取得最大值13分（16）（共13分）解：（）， ， 即随机抽取的市民中年龄段在的人数为4分（），所以，即抽取的人中年龄段抽取的人数为 7分（）的所有可能取值为，；所以的分布列为的数学期望为13分（17）（共14分）DBACEzxy解：（I）由，.
7、,可得由，且，可得又所以 又平面平面，平面 平面 ，平面，所以平面分（II）如图建立空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，即 令，则设直线与平面所成的角为，则所以和平面所成的角的正弦值1分（III）设，.则设是平面一个法向量，则，即 令，则若平面平面，则，即，.所以，在线段上存在一点使得平面平面.14分（18）（共13分）解：（）函数的定义域为,， 因为，所以，当，或时，； 当时，所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,6分（）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，所以，当时，由，可得所以当时，函数在区间上是增函数，所以，当时，所以，当时，对于任意的，都有，所以当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，当时，所以，当时，对于任意的，都有，所以综上，对于任意的，都有 13分（19）（共13分）解（）依题意有， 可得，故椭圆方程为 分（）直线的方程为联立方程组消去并整理得设，故，则 设的中点为 可得，直线的斜率为，又 ，所以当为正三角形时，可得， 解得 即直线的方程为，或13分（20）（共14分） 解：（）； 5分（）假设是一个位数（），那么可以设，其中且（），且由可得，所以因为，所以而，所以，即 9分（）由，即，可知同理，可知由数学归纳法知，对任意，有即对任意，有因此，存在（），有则，可得对任意，有设，即对任意，有若，取，则有若，由，可得，取，则有 14分