1、内蒙古呼和浩特市二中2019-2020学年高二数学下学期月考试题 文（含解析）一选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1.已知函数的导函数,且满足，则()A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解【详解】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题本题值得注意的是是一个实数2.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数证明即可.【详解】的单调增区间为故选C【点睛】本题主要考查
2、了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.3.点是曲线上任意一点，曲线在点处的切线与平行，则的横坐标为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设，对函数求导，得到，根据题意，得出，求解，即可得出结果.【详解】由题意，设，由得，则，因为曲线在点处的切线与平行，所以，解得：或（舍）故选：A.【点睛】本题主要考查已知曲线上某点处的切线斜率求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.4.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为().A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左
3、侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.详解：导函数在上的图象如图所示，由函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，由图象可知，函数只有在点处取得最大值，而在点处取得极小值，而在点处无极值，函数在上的极大值点的个数为，故选B.点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.5.已知的一个极值点为，且，则、的值分别为（ ）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】【分析】根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数在处是否取到极值进行检验，可得出结果.
4、【详解】，由题意得，解得或.当，则，此时，函数在上单调递增，无极值；当，时，若，若，则，此时，函数在处取得极小值，合乎题意.故选：D.【点睛】本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题.6.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A.D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时
5、面积改变为突变，产生中断，选择A.故选A.7.已知函数在处取到极小值，则的值为（ ）A. 3或9B. 3C. 9D. 【答案】B【解析】【分析】得出，由，得出或，进行验证，即可得出答案.【详解】由题意可得，解得或当时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增满足在处取到极小值当时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增则在处取得极大值综上，故选：B【点睛】本题主要考查了已知函数的极值点求参数，属于中档题.8.在平面直角坐标系中，已知曲线，过点（为自然对数的底数）的直线与曲线切于点，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意
6、义得出切线方程，将点代入得，解出，即可得出答案.【详解】设，则曲线在点处的切线方程为将点代入得，化简得到，则在上为增函数又有唯一解即故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.9.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.【详解】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.10.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围
7、是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，得到，由得，令，用导数的方法求出其最值，分别假设在区间上单调递增或递减，求出参数范围，即可求出不单调时的参数范围.【详解】因为，所以，由得，令，则， 由得或；由得；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以；又，所以，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以只需；若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，只需，又因为函数在区间上不单调，所以只需.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求解即可，属于常考题型.11.函数的定义域为，对任意，则的解集为
8、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值充要条件是
9、f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值13.已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取何值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定义得出函数是奇函数，利用导数得出其单调性，根据奇函数和单调性解不等式即可.【详解】的定义域为，关于原点对称是奇函数（当且仅当，即时等号成立），当且仅当时等号成立在上单调递增，解得故选A【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.14.对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大
10、值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先对函数求导，判断函数单调性，求出函数最小值，进而可求出结果.【详解】因为，所以，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；则，即恒成立，因此函数的下确界为.故选：D.【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的最值，通常需要对函数求导，通过研究函数单调性来确定最值，属于常考题型.15.已知，为自然对数的底数，下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】先构造函数，对其求导，得到在上单调递减，推出，进而可得出结果.【详解】构造函数，则，由得；由得；所以函数在上单调递
11、减；因为，则，即，即，则故选：A.【点睛】本题主要考查由函数的单调性比较大小，解题的关键在于构造函数，用导数的方法判断函数的单调性，属于常考题型.16.对于函数，有下列命题：过该函数图象上一点的切线的斜率为；函数的最小值为；该函数图象与轴有4个交点；函数在上为减函数，在上也为减函数.其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的方法，求出时的单调性与最值；根据二次函数的性质，确定时的单调性与最值，进而逐项判断，即可得出结果.【详解】当时，故，即正确；由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增，故时， 当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，有最小值为；因
12、为，所以的最小值为；即正确；因为时，恒成立，且；时，与轴有个交点；故该函数图像与轴有个交点，故错.即正确命题的序号是：.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的方法求函数最值，单调性，以及函数零点问题，属于常考题型.二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)17.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求函数在x=0时的导数即切线斜率，写出切点坐标，由点斜式即可得到切线方程.【详解】，斜率，切点为，则切线方程为即y=3x+1故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求曲线在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；
13、二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.18.已知，则函数的零点个数为_.【答案】3【解析】【分析】将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用导数得出单调性，画出图象，即可得出结论.【详解】，则令当时，则函数在区间上单调递减当时，；在区间上单调递增，在区间上单调递减画出函数与的图象，如下图所示由图可知函数与的图象有三个交点，则函数的零点个数为3个故答案为：3【点睛】本题主要考查了求函数零点的个数，属于中档题.19.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】将函数在区间上存在单调递增区间，转化为存在，使得成立，构造函数，利用导数得出的最大值
14、，即可得出实数的取值范围.【详解】因为函数在区间上存在单调递增区间所以存在，使得成立即存在，使得成立即存在，使得成立令，则在区间上单调递减，故答案为【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，属于中档题.20.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】【解析】【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得的值.【详解】依题意，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，设直线与相切切点的横坐标为，即切点为，令，解得，故直线与相切切点为.由此求出两条切线方程为和；即和，故，故.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题
15、，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.三解答题(本大题共4小题，共50分.)21.已知函数在处取到极值.（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，即可得出函数的解析式；（2）利用导数求解即可.【详解】（1）由题意得，解得即（2）或在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增【点睛】本题主要考查了由函数的极值求参数以及利用导数求最值，属于中档题.22.已知函数，.（1）证明：，都有；（2）令，讨论的零点个数.【答案】（1）证明见详解；（2）1个.【解析】【分析】（1）令，对其求导，求出函数单调性，得出最值，即可证明结论成立；（2
16、）先对函数求导，得到，对其求导，用导数的方法研究其单调性，确定最值，得出恒成立，判断出函数的单调性，进而可得出结果.【详解】（1）令，则，由得；由得；所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即，即，恒成立；（2）因为，所以，令，则，由得；由得；则在上单调递增，在上单调递减；因此，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，又，所以函数有1个零点.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，以及导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性与最值等，属于常考题型.23.已知函数.（1）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的
17、取值范围.【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）由题意得出存在，使得成立，即存在，使得成立，求出的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）分类讨论参数的值，利用导数得出的最小值，即可得出的取值范围.【详解】（1）在上存在单调递减区间存在，使得成立即存在，使得成立且（2）当时，则函数在上单调递减成立，即当时，由，则所以函数在上单调递减，恒成立，即当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，解得综上，【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒能成立问题，属于中档题.24.已知函数.（1）若在区间，上同时存在函数的极值点和零点，求实数的取值范围.（2）如果对任意、，有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数得出的单调性以及极值，画出其函数图象，根据图象，得出实数的取值范围；（2）结合函数的单调性，构造函数，由得出函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，得出的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，；在上单调递增，在上单调递减，则极大值为当时，；当时，由，得在区间上存在唯一零点，则函数的图象，如下图所示在区间，上同时存在函数的极值点和零点，解得即（2）由（1）可知，函数在上单调递减不妨设，由，得令函数在上单调递减则在上恒成立，即在上恒成立当时，的最小值为【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.