1、2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象
2、是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1 ,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2
3、bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()题组二教材改编2P92A组T5函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)答案B解析f(2)ln 210且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内3P88例1函数f(x)ex3x的零点个数是_答案1解析由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点4P92A组T4函数f(x)x的零点个数为_答案1解析作函
4、数y1和y2x的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点题组三易错自纠5已知函数f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xln x的零点分别为x1，x2，x3，则()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx2x3x1 Dx3x11时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)只有1个零点7函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_答案解析函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.题型一函数零点所在区间的判定1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的
5、区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 11210，f(1)f(2)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，且为增函数，f(x)的零点所在的区间是(1,2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)答案A解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(
6、a，b)，(b，c)内，故选A.3设函数y1x3与y2x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1,2)解析令f(x)x3x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)0，x0所在的区间是(1,2)思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法题型二函数零点个数的判断典例 (1)函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点
7、，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_答案2解析f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点思维升华 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练 (1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为(
8、)A1 B2C3 D4答案C解析g(x)f(1x)1易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，0a9.引申探究本例中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_答案解析作出y1|x23x|，y2a的图象如图所示当x时，y1；当x0或x3时，y10，由图象易知，当y1|x23x|和y2a的图象有四个交点时，0a1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点命题点3根据零点的范围求参数典例 若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可
9、知m需满足即解得m.思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练 (1)方程2x有解，则a的最小值为_答案1解析若方程2x有解，则2xa2x有解，即x2xa有解，因为x2x1，故a的最小值为1.(2)(2017福建漳州八校联考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数m的取值范围是_答案解析作出函数f(x)的图象如图所示当x0时，f(x)x2
10、x2，若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(1)(1,0)(2)(，221已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案C解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)2已知a是函数f(x)2x的零点，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案C解析f(x)在(0，)上是增函数，若0x0a，则f(x0)f(a)0.3函数f(x)2
11、xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选D.5(2017山东)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0，2，) D(0，3，)答案B解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当0m1时，1，如图，当x
12、0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意(2)当m1时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)故选B.6已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为_答案2解析函数g(x)f(x)ex的零点个数即为函数yf(x)与yex的图象的交点个数作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)f(x)ex有2个零点7若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数
13、的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x3a)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)9定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在
14、R上的零点个数为3.10在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_答案解析函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a.11设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0ab且f(a)f(b)，得0a1b且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根12关于x的
15、二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，01，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的最小值为_答案1解析设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0)因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m0，n0，所以1.当且仅当，即mn2时等号成立所以的最小值为1.16已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在(，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象如图，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.