1、云南省云天化中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、单选题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：先求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.解答：由题意，集合，则.故选：B.2. 的值为（ ）A. B. C. D. B分析：利用三角函数的诱导公式求解.解答：,故选:B3. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. C分析：求得函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.解答：对于函数，则，即，解得.所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为定义域上的增函数，因此，函数的单调递减区间为.故选：C.点拨：
2、本题考查利用复合函数法求解函数的单调区间，解题时不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. B分析：利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.解答：由题意得：，故选：B.5. 若函数对任意都有，则 ()A. 2或0B. 0C. 2或0D. 2或2D解答：由函数对任意x都有，可知函数图象的一条对称轴为直线x.根据三角函数的性质可知，当x时，函数取得最大值或者最小值2或2.故选D.6. 函数的图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. A分析：由正切函数对称中心可以得到，从而解出满足条件的对称中心.解答：由正切函数的对称中心可以推出对称中心
3、的横坐标满足，带入四个选项中可知，当时，.故是图像一个对称中心，选A.点拨：正切函数的对称中心为，正弦函数的对称中心为，余弦函数的对称中心为，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.7. 函数的定义域为，则函数的值域为（ ）A. B. C. D. B分析：先根据的定义域求出的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出.解答：的定义域为，中，解得，即的定义域为，令，则则，当时，；当时，的值域为.故选：B.8. 已知定义在.上函数满足，且函数的图象关点中心对称，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. B分析：根据题意可知函数为奇函数，
4、构造函数，推导出函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，分和两种情况结合函数的单调性可解不等式.解答：由于函数的图象关于点中心对称，则函数的图象关于原点对称所以，函数是定义在上的奇函数令，则所以，函数为偶函数对于任意、，都有成立，即.设，则，所以函数在区间上单调递增，且.当时，由可得，解得；当时，由于偶函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且.由可得，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：B点拨：方法点睛：1、在解抽象函数的不等式时一般可以利用函数的单调性解不等式2、一般地，对于任意、，若成立，则在区间上单调递增；若成立，则在区间上单调递减.二、多选题9. 下列命题正确的有（ ）A.
5、，B. 是函数为偶函数的充要条件C. ，D. 是的必要条件AB分析：对于A，解方程可判断；对于B，利用充要条件的定义判断即可；对于C，可判断C错误；对于D，由必要条件的定义判断即可解答：对于A，解得，所以，所以A正确；对于B，“”时，函数是偶函数，“函数是偶函数时，由得到，故B正确对于C，所以，不正确，所以C不正确对于D，可得，反之不成立，所以D不正确故选：AB10. (多选)函数是R上的偶函数，则的值可以是（ ）A. B. C. D. ACD分析：利用函数奇偶性的性质可得，进而可得答案.解答：因为函数为上的偶函数，函数的图象关于轴对称，可得，则，；所以时，的值分别是，故选：ACD11. 关于
6、函数有下列命题，其中正确的是（ ）A. 的表达式可改写为；B. 是以为最小正周期的周期函数；C. 的图像关于点对称；D. 的图像关于直线对称AC分析】首先利用诱导公式化简可得A选项正确；可判断函数的最小正周期为，计算函数的对称中心及对称轴，可判断C选项正确.解答：对A，故A正确；对B，的最小正周期为，故B错误；对C，的对称中心为，当时，对称中心为，故C正确；对D，的对称轴为，故D错误.故选：AC.12. （多选题）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）A. 当时，的定义域为B. 一定有最小值C. 当时，的值域为D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是ACD分析：对A，当时，求出函数的定
7、义域，可判选项A；当时，函数的值域为，可判选项B，C；根据复合函数单调性可知，内函数递增且可求出的取值范围，可判断选项D.解答：对A，当时，解有，故A正确；对B，当时，此时，此时值域为，故B错误；对C，同B，故C正确；对D， 若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴， 且，解得且，故D正确.故选：ACD点拨：本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性方法点睛：对于复合函数的单调性问题，可先将函数分解成和，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解.三、填空题13. 已知，则的值是_.1分析：根据，由 求解.解答：因为，所以， ， ，故答案为
8、：114. 函数的最大值为_2分析：利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值.解答：设，则，所以原函数可化为：，由二次函数性质，当时，函数取最大值2.故答案为：2.点拨：本题考查换元法求函数最值，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围，属于基础题型.15. 已知函数是定义在上奇函数，且满足对任意，都有，若时，则_.分析：利用奇函数的定义，已知条件推出函数是周期函数，周期为4，然后由周期函数和奇函数的定义求值解答：因为函数是定义在上奇函数，所以，所以所以，即是周期函数，周期为4所以故答案为：16. 已知函数，满足
9、，若函数的图象与函数的图象恰好有个交点，则这个交点的横坐标之和为_.分析：由已知函数可知，图象关于点对称，构造新函数得有个零点，结合对称性可求出横坐标之和.解答：因为是反比例函数往右平移个单位，关于对称，所以函数的图象关于点对称.因为函数满足，所以图象也关于点对称，函数图象关于点对称，且有个零点，这个零点关于点对称，把这个零点首尾结合，两两关于点对称，和为，故这个交点的横坐标之和为.故答案为：.点拨：关键点睛：本题的关键是构造新函数，将已知两函数交点问题转化为函数零点个数问题.四、解答题17. 求函数解析式.（1）已知函数的图象关于原点对称，且当时，.试求当时，的解析式；（2）已知满足，求.（
10、1）当时，（2）分析：（1）由函数图象的对称性得函数为奇函数，利用可求得结果；（2）将替换为得到一个方程，与原方程联立消去可解得结果.解答：（1）因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，因为当时，所以当时，.（2）由得，所以两个方程联立消去可得.点拨：关键点点睛：（1）根据奇函数性质将负数的函数值转为正数的函数值求解是解题关键；（2）根据已知函数方程构造出一个函数方程，然后消元求解是解题关键.18. 计算：（1）.（2）已知，求实数的值.（1）；（2）.分析】（1）利用指数和对数的运算以及换底公式求解.（2）利用换底公式化简得到，则由，再利用指对互化求解.解答：（1）原式，.（2）
11、因为，所以，解得或-2(舍)，所以.19. 设函数的定义域为A，集合.（1）求集合A，B，并求；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.（1），；（2）.分析：（1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.解答：（1）因为，所以，又，或，所以；（2）因为，所以，当时，解得，符合题意；当时，则；综上：a的取值范围是.20. 已知，（1）化简；（2）若，求（1）；（2）当是第二象限角时， ，当是第三象限角时，分析：（1）根据诱导公式以及同角公式化简可得结果；（2）由得，再讨论的象限可求得结果.解答：（1）（2），可得，是
12、第二或第三象限角，当是第二象限角时，当是第三象限角时，点拨：关键点点睛：掌握诱导公式和同角公式是解题关键.21. 已知函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，方程有实数解，求实数k的取值范围（1），；（2）.分析：（1）根据函数,利用求得周期，然后令求得增区间；（2）根据时，方程有实数解，则实数k的范围即为的值域求解.解答：（1）因为函数,所以的最小正周期,令，解得 ，所以函数的单调递增区间是；（2）因为，所以，所以，所以，因为方程有实数解，所以，所以实数k的取值范围是22. 定义在上的函数满足：对任意的，都有：.（1）求证：函数是奇函数；（2）若当时，有，求证：在上是减函数；（3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或或分析：（1）令得，再令即可证明.（2）根据定义结合已知证明.（3）转化为，再变换主次元考虑.解答：（1）证明：令得：设任意，则，即，函数是奇函数；（2）设，则，由知：，且，所以，即，又即，从而，即，所以在上是减函数；（3）由（2）函数在上是减函数，则当时，函数 的最大值为，若对所有恒成立，则等价为 对恒成立，即，设，则对恒成立，即，即，解得或或【方法点睛】 多变量不等式恒成立问题处理：按照题意分清主次元，确定降元次序；考察指定元所对应的函数关系；由特定元的范围，建立不等式（组）.
