1、四川省北京师范大学广安实验学校2021届高三数学上学期模拟考试试题 理一、选择题1已知复数（为虚数单位），则（ ）A2BCD2已知集合，则（ ）ABCD3已知向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4我国古代名著孙子算经中有如下有趣的问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问三女何日相会？”意思是：“一家有三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？”三人再次在娘家相会，则要隔的天数可以为（ ）A90B180C270D3905
2、执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD6已知等差数列的前项和为，则数列的通项公式为（ ）ABCD7已知，则（ ）ABCD8已知函数若，且满足，则的取值范围为（ ）ABCD9已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）ABCD310已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数是最小正周期为的偶函数B函数的图象关于直线对称C函数的最小值为D函数在区间上单调递增11若不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）ABCD12如图所示，在三棱锥中，为边长为2的正三角形，与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的半径为（ ）ABCD二、填空题13若函数是定义在上的奇函数，且，则_
3、146个人排成一排，其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的概率为_15已知数列得到前项和为，当时，则_16已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线，与双曲线交于，两点，点为外接圆的圆心，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_三、解答题17在中，内角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围18如图所示，在长方体中，为的中点，为的中点（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值192020年4月9日起，使用青岛地铁钱包支付扫码乘车可享受乘坐地铁阶梯折扣优惠、公交乘车优惠与换乘优惠政策，青岛地铁将在原有微信、支付宝、银联三种支付方式的基础上，新增钱包支付方式，乘
4、车累计优惠最高到7折根据相关优惠政策，同一乘车码或同一乘坐地铁，一个自然月内，从第一笔消费开始享受单程票价9折优惠；累计消费满100元及以上，每笔消费享受单程票价8折优惠；累计消费满200元及以上，每笔消费享受单程票价7折优惠；累计消费达到300元及以上，恢复9折优惠，月底清零，下一自然月重新累计其中，补交超时费、更新及自助补出站等涉及的金额不参加累计（1）若甲乘客2020年3月份乘坐地铁上下班的总费用为200元，请估计2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用（结果精确到0.01）；（2）乘坐青岛地铁的购票方式一般有三种方式，一是通过自动售票机购票，二是购买专用的乘车卡支付，三是使用青岛地
5、铁钱包支付扫码现随机调查了100名乘客，得到如下列联表：使用青岛地铁乘车使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付青年人4010中老年人3020试判断能否有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关？（3）在（2）的条件下，利用分层抽样的方法从青年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中使用青岛地铁乘车的人数为，求分布列和数学期望附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828220已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，使得，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，直线与椭圆相交于，两点，且，四点的横坐标均不相同，若直线
6、与直线的斜率互为相反数，求证：直线和直线的斜率互为相反数21已知函数（1）若曲线在点处的切线过点，求实数的值；（2）若函数仅有两个零点，求实数的取值范围22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线，求的最小值23已知，为正数，证明：（1）；（2）理科数学参考答案题号123456789101112答案BACBDBCACDAD【答案提示】1B因为，所以，所以故选B2A由，所以故选A3C由，则，所以，有，故“”是“”的充要条件故选C4B由可知，要隔的天
7、数为60的正整数倍故选B5D故选D6B设公差为，则，得，有，解得，所以故选B7C由，得，可知，与联立，得，所以，所以故选C8A由函数的图象（如图所示），可知，由得，所以，所以故选A9C点的坐标为，设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程消去后整理为，所以，所以由（当且仅当时取等号），所以，可得的最小值为故选C10D由，可知函数为偶函数，由，可知不是函数的周期；由，可知，函数的图象不关于直线对称；由，可知不是函数的最小值；当时，此时函数单调递增故选D11A不等式可化为，有，令，则，由函数在上单调递增，得，所以令，有，令，得，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以，故有故选A12D如图所示，取的
8、中点，连，过点作直线的垂线，垂足为，设三棱锥外接圆的半径为由，可得，有平面，可得，又由，可得平面，故为直线与平面所成的角，可得，在中，解得：或当时，此时三棱锥为正三棱锥，有，解得；当时，此时由，可得，同理可得，此时的中点为三棱锥外接球的球心，得由上可知三棱锥外接球的半径为故选D130因为为上的奇函数，所以，又由，可得函数的周期为4，所以146个人排成一排，其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的排法数为，所求概率为15由，得，则，所以，16把代入双曲线的方程可求得，可知点的坐标为，点的坐标为由双曲线的对称可知点在轴上，设点的坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，有，又有，平方后解得，代入式
9、得，化简，得，即，可得，所以17解：（1），所以，可得，即由余弦定理得，又，所以（2）由因为，所以，又，所以，所以，得，所以，所以18（1）证明：如图1所示，取的中点，连接，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：以点为原点，向量，方向分别为，轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则有解得取，得，；设平面的一个法向量为，则有解得取，得，可得由，故平面与平面所成二面角的正弦值为19解：（1）2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用估计为元（2）由，故有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关（3）这10人中使用青岛地铁乘车的人数为8人，使用自
10、动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的青年人数为2人，则的取值为1，2，3，所以，所以随机变量的分布列为：123故20（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有由的面积为，即，所以因为，所以在中，又，所以，所以故椭圆的标准方程为（2）证明：设点，的坐标分别为，直线的方程为，直线的方程为，联立方程消去后整理为，则同理可得因为，互不相等，故有：直线的斜率为，直线的斜率为，则，故直线和直线的斜率互为相反数21解：（1）由，则，可得曲线在点处的切线为，即又切线过点，所以，解得，故实数的值为（2）因为令，则函数与函数具有相同的零点当时，此时函数没有零点；当时，令，则，令，有，可得函数的增区间为，减区间为由，可得，
11、所以，此时函数没有零点；由函数的定义域为，当时，有，令，可得；，得，所以函数的增区间为，减区间为，若此时函数有两个零点，必有，可得下面证当时，函数有两个零点；（i）当时，有，可得，又由得，可得，则，所以取时，又，且在单调递增，故在有唯一零点；（ii）令，则，令，得，可得函数的增区间为，减区间为，可得，当时，有，得，有，所以取，又在单调递减，所以在有唯一零点由（i）（ii）知，当时，函数有且仅有两个零点故函数有两个零点时，实数的取值范围为22解：（1）曲线的参数方程中消去参数，可得曲线的直角坐标方程为；曲线的极坐标方程可化为，将，代入，可得曲线的直角坐标方程为（2）将曲线的直角坐标方程整理后可得，可知曲线是以点为圆心，1为半径的圆，可得设点的坐标为，有，则（当且仅当时取等号）故的最小值为23证明：（1）由（当且仅当时取等号），所以（2）由（当且仅当时取等号），同理有（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）可得（当且仅当时取等号）由上知14
