1、四川省北京师范大学广安实验学校2021届高三数学上学期模拟考试试题 文一、选择题1已知集合，则（ ）ABCD2若复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）A0BC1D24直线被圆截得的弦长为（ ）A1BCD5我国古代名著孙子算经中有如下有趣的问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问三女何日相会？”意思是：“一家有三个女儿都已出嫁，大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？”三人再次在娘家相会，则
2、要隔的天数可以为（ ）A90B180C270D3906执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD7已知等差数列的前项和为，则数列的通项公式为（ ）ABCD8如图所示，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，四棱锥的体积为，则四棱锥外接球的表面积（ ）ABCD9已知函数若，且满足，则的取值范围为（ ）ABCD10已知椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上异于点、点的任意一点，直线，在轴上的截距分别为，则（ ）A1BC2D11已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数是最小正周期为的偶函数B函数的图象关于直线对称C函数的最小值为D函数在区间上单调递增12若不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）ABCD二
3、、填空题13已知，为相互垂直的单位向量，则_14已知实数，满足不等式组则的最大值为_15在锐角中，角，所对的边分别，若，则的面积的取值范围为_16已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线，与双曲线交于，两点，点为外接圆的圆心，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_三、解答题17已知在数列中，（1）记，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和18如图所示，在长方体中，为的中点，为的中点（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离192020年4月9日起，使用青岛地铁钱包支付扫码乘车可享受乘坐地铁阶梯折扣优惠、公交乘车优惠与换乘优惠政策，青岛地铁将在原有微信、支付宝、银联三种
4、支付方式的基础上，新增钱包支付方式，乘车累计优惠最高到7折根据相关优惠政策，同一乘车码或同一乘坐地铁，一个自然月内，从第一笔消费开始享受单程票价9折优惠；累计消费满100元及以上，每笔消费享受单程票价8折优惠；累计消费满200元及以上，每笔消费享受单程票价7折优惠；累计消费达到300元及以上，恢复9折优惠，月底清零，下一自然月重新累计其中，补交超时费、更新及自助补出站等涉及的金额不参加累计（1）若甲乘客2020年3月份乘坐地铁上下班的总费用为200元，请估计2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用（结果精确到0.01）；（2）乘坐青岛地铁的购票方式一般有三种方式，一是通过自动售票机购票，二
5、是购买专用的乘车卡支付，三是使用青岛地铁钱包支付扫码现随机调查了100名乘客，得到如下列联表：使用青岛地铁乘车使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付青年人4010中老年人3020试判断能否有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关？（3）在（2）的条件下，利用分层抽样的方法从青年人中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中1人使用青岛地铁乘车、1人使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的概率附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828220已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围21已知抛物线的焦点为，点为抛物
6、线上任意一点，的最小值为1（1）求的值；（2）若点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，（，与点不重合）两点，直线，与抛物线的准线相交于，两点，求以线段为直径的圆所过的定点22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线，求的最小值23已知，为正数，证明：（1）；（2）文科数学参考答案题号123456789101112答案CBACBDBDACDA【答案提示】1C因为，所以故选C2B因为，所以复平面内对应的点位于第二象限故选B3A因为是上的奇函数，所以又
7、由，可得函数的周期为4，所以故选A4C圆心到直线的距离为，所求弦长为故选C5B由可知，要隔的天数为60的正整数倍故选B6D故选D7B设公差为，则，得，有，解得，所以故选B8D由四边形的面积为，四棱锥的体积为，解得把四棱锥补成长方体，可知四棱锥外接球的半径，所以四棱锥外接球的表面积为故选D9A由函数的图象（如图所示），可知，由得，所以，所以故选A10C设点的坐标为，有，点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，可得；所以直线的方程为，可得，所以故选C11D由，可知函数为偶函数，由，可知不是函数的周期；由，可知，函数的图象不关于直线对称；由，可知不是函数的最小值；当时，此时函数单调递增故选D12A不等
8、式可化为，有，令，则，由函数在上单调递增，得，所以令，有，令，得，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以，故有故选A1314画出如图所示可行域，因为，令，则表示可行域内的点与定点连线的斜率由图可知，当点为点时，连线斜率最大，所以，所以的最大值为15因为，所以，所以又，所以，所以，所以因为，所以因为，所以，所以，所以，所以16把代入双曲线的方程可求得，可知点的坐标为，点的坐标为由双曲线的对称可知点在轴上，设点的坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，有，又有，平方后解得，代入式得，化简，得，即，可得，所以17（1）证明：由题意，得，所以又，所以，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列所以，即，所
9、以，故数列的通项公式为（2）解：由（1）知，所以两式相减，得，所以18（1）证明：如图所示，取的中点，连接，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：设到平面的距离为，连接为的中点，故点到平面的距离为19解：（1）2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用估计为元（2）由，故有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关（3）这5人中使用青岛地铁乘车的人数为4人，记为，；使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的人数为1人，记为，则从这5人中随机抽取2人，包括10个基本事件，分别为、，这2人中1人使用青岛地铁乘车、1人使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付包括4个基本事件，分
10、别为、，故这2人中1人使用青岛地铁乘车、1人使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付的概率为20解：（1）由，有，故曲线在点处的切线方程为，整理为（2）不等式可化为，令，函数的定义域为，则令，则，令，得，得，所以函数的增区间为，减区间为，所以对，又当时，故有所以，有，有，所以函数的增区间为，减区间为，所以，所以实数的取值范围为21解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，则，可得，则，故的值为2（2）由（1）知抛物线的标准方程为，代入可求得，故点的坐标为设点，的坐标分别为，直线的方程为，联立方程消去后整理，得，则，所以直线的斜率为，则直线的方程为，代入，有，可得点的坐标为，同理点的坐标为由，可得中点的坐标为所以，以为直径的圆的方程为由对称性知，以为直径的圆若过定点，必在轴上，故当时，解得或故以为直径的圆所过定点的坐标为和22解：（1）曲线的参数方程中消去参数，可得曲线的直角坐标方程为；曲线的极坐标方程可化为，将，代入，可得曲线的直角坐标方程为（2）将曲线的直角坐标方程整理后可得，可知曲线是以点为圆心，1为半径的圆，可得设点的坐标为，有，则（当且仅当时取等号）故的最小值为23证明：（1）由（当且仅当时取等号），所以（2）由（当且仅当时取等号），同理有（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）可得（当且仅当时取等号）由上知