1、顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(文史类)选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知集合,则( )A B C D【答案】A因为,所以,选A.2复数( )A B C D 【答案】B,选B.3从中随机选取一个数,从中随机选取一个数,则关于的方程有两个不相等的实根的概率是( )A B C D【答案】C有5种取法,有3种取法,所以共有15种结果。要使方程有两个不相等的实根,则有,即。若,则,此时。若,则,此时。若,则,此时。所以共有9种。所以关于的方程有两个不相等的实根的概率是,选C.4执行如图所示的程序框图,输出的值为( )结束开始输
2、出否是A B C D 【答案】A第一次运行,满足条件循环。第二次运行,满足条件循环。第三次运行,满足条件循环。第四次运行,满足条件循环。此时不满足条件,输出,选A.5.已知数列中,等比数列的公比满足且,则( )A B C D【答案】B因为,所以,所以,即是公比为4的等比数列,所以,选B.6设变量满足约束条件,则的取值范围是( )A B C D【答案】C设,则。做出可行域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线截距最大,此时z最小。当经过点C时,直线的截距最小,此时z最大。直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C(2,0),代入直线得。直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B
3、.代入直线得。所以,即,即,所以的取值范围是,选C.7.已知正三角形的边长为,点 是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为( )A B C D【答案】D,,所以当时,的最大值为,选D. 8.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则面积的最小值为( )A B C D【答案】C由题意知。到直线的距离,即。因为,所以,当且仅当时取等号。此时面积的为,所以面积的最小值为3,选C.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设的内角的对边分别为,且,则的面积 .【答案】,由得.所以.由正弦定理得,所以的面积为.10.已知函数,若,则的最大值为_.【答案】10由得
4、,即。又,所以,当且仅当时取等号。所以。即的最大值为10.11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数,则甲组工人天每人加工零件的平均数为_;若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人加工零件的总数超过了的概率为_ 【答案】组工人1天每人加工零件的平均数为。所有的基本事件共有44=16个,满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有:(18,21),(19,21),(21,19),(18,21),(22,17),(22,19),(22,21),共有7个,故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为。12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为,则.俯视图h4
5、52正(主)视图侧(左)视图【答案】4由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是:,即,解得。 13.已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_.【答案】,椭圆的焦点坐标为,所以双曲线的顶点为,即,又,所以,解得,所以。所以双曲线的焦点坐标为。双曲线的渐近线方程为。14. 设函数,则满足的的取值范围是_.【答案】当时,由得,解得。当时,由得,解得。综上。所以满足的的取值范围是。三、解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分) 已知函数. ()求的值; ()求函数的最小正周
6、期及单调递减区间.16.(本小题满分13分) 已知为等差数列的前项和,且.()求数列的通项公式; ()求数列的前项和公式.17.(本小题满分14分) 如图,四棱柱中, 是上的点且为中边上的高.()求证:平面; ()求证:; ()线段上是否存在点,使平面?说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数,其中为正实数,是的一个极值点.()求的值; ()当时,求函数在上的最小值.19(本小题满分14分) 已知椭圆的离心率为,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为。 ()求椭圆的方程()设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.20(本小题满分13分)已知函数,其中为常数,函数的
7、图象与坐标轴交点处的切线为,函数的图象与直线交点处的切线为,且。()若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.()对于函数和公共定义域内的任意实数。我们把 的值称为两函数在处的偏差。求证:函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(文史类)一、 ABCA BCDC二、 9 10 11 12 13 1415解() 4分()由 故的定义域为 因为 所以的最小正周期为因为函数的单调递减区间为,由得所以的单调递减区间为13分16解()设等差数列的公差为, 因为 所以 解得 所以7分()由()可知,令 则, 又所以是以4为首项,4为公比的等比数列,设数列的前项和为则1
8、3分17 ()证明:,且平面PCD,平面PCD,所以平面PDC2分()证明:因为AB平面PAD,且PH平面PAD , 所以 又PH为中AD边上的高 所以又所以平面而平面所以7分()解:线段上存在点,使平面 理由如下: 如图,分别取的中点G、则由所以所以为平行四边形,故因为AB平面PAD,所以因此,因为为的中点,且 所以 因此又 所以平面14分18解:()因为是函数的一个极值点, 所以 因此, 解得经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为.4分()由()可知,令,得与的变化情况如下:+0-0+所以,的单调递增区间是 单调递减区间是当时,在上单调递减, 在上单调递增所以在上的最小值为当时,在上单
9、调递增,所以在上的最小值为13分19解()由已知得,且 解得 又所以椭圆的方程为.4分()证明:有题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为 ()当直线轴时,直线的方程为且 则 解得故直线的方程为因此,点到直线的距离为又圆的圆心为,半径所以直线与圆相切.9分 ()当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 由 得 故即又圆的圆心为,半径圆心到直线的距离为将式带入式得所以因此,直线与圆相切.14分20解()函数的图象与坐标轴的交点为, 又 函数的图象与直线的交点为, 又 由题意可知, 又,所以.3分 不等式可化为 即 令,则, 又时, 故 在上是减函数即在上是减函数因此,在对任意的,不等式成立,只需所以实数的取值范围是.8分()证明:和的公共定义域为,由()可知, 令,则, 在上是增函数故,即 令,则,当时,;当时,有最大值,因此由得,即又由得 由得故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.13分