1、？6.2.4向量的数量积？课标定位素养阐释1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.会计算平面向量的数量积.3.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.发展数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、向量的数量积【问题思考】1.如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么?提示:力、位移都是矢量,夹角为.？2.力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?提示:由
2、物理知识容易得到W=|F|s|cos,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,功是标量.？3.(1)两个向量的夹角？(2)两个非零向量的数量积？4.特别提醒:(1)“”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量;(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正;当是钝角时,数量积为负;当是直角时,数量积等于零.？答案:(1)A(2)C？二、投影向量【问题思考】1.如图,已知线段AB和直线l,如果过线段AB的两个端点A,B,分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,得到线段A1B1,那么线段A1B1叫做什么?提示:线段A1B1叫做线段A
3、B在直线l上的投影线段.？2.设直线AB与直线l的夹角为,那么|A1B1|与|AB|,之间有怎样的关系?提示:|A1B1|=|AB|cos.？4.做一做:已知非零向量a与b的夹角为45,|a|=2,与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c=.？三、平面向量数量积的性质【问题思考】1.已知两个非零向量a,b,为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.(1)根据数量积公式,计算ae,aa.提示:ae=|a|e|cos=|a|cos,aa=|a|a|cos 0=|a|2.？(2)若ab=0,则a与b有什么关系?提示:ab=|a|b|cos=0,a0,b0,cos=0,=90
4、,ab.(3)当=0和180时,数量积ab分别是什么?提示:当=0时,ab=|a|b|;当=180时,ab=-|a|b|.？2.设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1)ae=ea=|a|cos .(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.？答案:30？四、平面向量数量积的运算律【问题思考】1.根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律(如下表),这些结论正确吗?？提示:除结合律中的(ab)c=a(bc)和消去律是错误的,其他都是正确的.？2.(1)向量数量积的运算律(2)向量数量积的运算性质(a+b)2=
5、a2+2ab+b2;(a+b)(a-b)=a2-b2.？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)0a=0a.()(2)若ab=0,则a与b至少有一个为零向量.()(3)若ac=bc,则a=b.()(4)对于任意向量a,都有aa=|a|2.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 计算平面向量的数量积【例1】已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120,a,c的夹角是45.求:(1)ab;(2)(a-2b)(3a+b);分析:根据向量数量积的定义和运算律进行求解.？求向量数量积的一般步骤:(1)运用数量积的运算律展开、化简;(
6、2)确定向量的模与夹角;(3)套用数量积的定义式代入计算即得.？【变式训练1】已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120,求(2a+3b)(3a-2b).解:(2a+3b)(3a-2b)=6a2-4ab+9ba-6b2=6|a|2+5ab-6|b|2=642+547cos 120-672=-268.？探究二 求投影向量【例2】已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为 ,则向量a在向量e上的投影向量是;向量e在向量a上的投影向量是.？投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b的夹角的余
7、弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为？【变式训练2】已知|a|=12,|b|=8,ab=24,则向量a在b上的投影向量是.解析:设向量a与b的夹角为.ab=|a|b|cos,？探究三 利用数量积解决向量的夹角和垂直问题【例3】(1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为()解析:由题意,得a(2a+b)=2a2+ab=0,即ab=-2a2,设a与b的夹角为,答案:C？(2)已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析:(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可考虑夹角公式和数形
8、结合两种方法求解.？解法二:由向量运算的几何意义知a+b,a-b是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线.？本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60,且|b|=4|a|,当(a+2b)(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0,化简得k+2(2k-1)-32=0,解得？1.求平面向量夹角的方法:(1)利用公式,求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间
9、的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.2.非零向量ab=0ab是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效,应熟练掌握.？探究四 求向量的模？根据数量积的定义aa=|a|a|cos 0=|a|2,得,这是求向量的模的一种方法,即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=a2+2ab+b2,再取其算术平方根即为|a+b|.？【变式训练4】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因
10、为|a+b|=4,所以|a+b|2=16,所以a2+2ab+b2=16.因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入式得4+2ab+9=16,得2ab=3.又因为(a-b)2=a2-2ab+b2=4-3+9=10,？易 错 辨 析？错用两向量的夹角致错答案:A以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？答案:B？1.在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须将两向量的起点平移到一个点上,根据向量的方向得出向量的夹角.如在ABC中,的夹角不是B,而是B的补角.2.向量的夹角与直线的夹
11、角范围不同,它们分别是0,和.3.积累直观想象和数学抽象素养的经验.？答案:-4？随 堂 练 习？答案:C？答案:A？3.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,且(a+2b)(a-3b)=-72,则a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:(a+2b)(a-3b)=a2-ab-6b2=|a|2-|a|b|cos 60-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,|a|2-2|a|-24=0,|a|=6.答案:C？4.已知|b|=5,ab=12,则向量a在向量b上的投影向量为.？5.已知两个单位向量a,b的夹角为60,若(2a+b)(a+b),则=.解析:(2a+b)(a+b),(2a+b)(a+b)=0,2a2+2ab+ab+b2=0.|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60,
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