1、3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1理解函数单调区间、单调性等概念(重点)2会划分函数的单调区间，判断单调性(重点、易混点)3会用定义证明函数的单调性(难点)1通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养2通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养.1增函数、减函数的概念是什么？2函数的单调性和单调区间有什么关系？3增函数、减函数的图象有什么特点？4所有函数都具有单调性吗？知识点1增函数、减函数的概念一般地，在函数yf(x)定义域内的一个区间D上，如果对于任意的x1，x2D，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是增
2、函数或递增的；如果对于任意的x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是减函数或递减的定义中的“任意x1，x2D”能否改成“存在x1，x2D”？提示不能1.下列命题中真命题的个数为()定义在(a，b)上的函数f(x)，如果x1，x2(a，b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数；如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；x1，x2(a，b)，且x1x2，当0时，f(x)在(a，b)上是增函数；x1，x2(a，b)，且x1x2，f(x1)f(x2)成立，则函数f(x)在(
3、a，b)上不是增函数A1B2C3D4C是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；由f(x)，可知是假命题；0等价于f(x1)f(x2)(x1x2)0，而此式又等价于或即或f(x)在(a，b)上为减函数，是真命题，同理可得也是真命题若要说明函数f(x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1x2时，f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)成立即可，故是真命题2.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是_(填序号)f(x)x2; f(x)；f(x)|x|; f(x)2x1.答案知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y
4、f(x)在区间A上是增函数或减函数，那么就称函数yf(x)在区间A上具有单调性，区间A为函数yf(x)的单调区间(1)区间A一定是函数的定义域吗？(2)函数y在定义域上是减函数吗？提示(1)不一定，可能是定义域的一部分(2)y在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(，0)，(0，)3.(1)函数yx2x2的单调递增区间是_(2)函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案(1)(2)(，1 类型1函数单调性的判定与证明【例1】求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f (x1
5、)f (x2)0，即f (x1)f (x2)函数f (x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f (x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数利用定义证明函数单调性的4个步骤1判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)1在(0，)上是增函数 类型2求函数的单调区间【例2】画出函数yx22|x|3的图象
6、，并指出函数的单调区间解yx22|x|3函数图象如图所示函数在(，1，0,1上是增函数，函数在1,0，1，)上是减函数，所以函数的单调增区间是(，1和0,1，单调减区间是(1,0)和(1，)(变条件)将本例中“yx22|x|3”改为“y|x22x3|”，如何求解？解函数y|x22x3|的图象如图所示由图象可知其单调增区间为1,1，3，)；单调减区间为(，1，1,3.求函数单调区间的2种方法法一：定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解法二：图象法即先画出图象，根据图象求单调区间2如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调增区间是_1.5,3和5,6由图象知单调增区间为
7、1.5,3和5,63求函数f(x)的单调减区间解函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，设x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上是减函数，同理函数f(x)在(1，)上也是减函数综上，函数f(x)的单调减区间是(，1)，(1，) 类型3函数单调性的应用【例3】(1)若函数f(x)x22(a1)x3在区间(，3上是增函数，则实数a的取值范围是_；(2)已知函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，则实数x的取值范围为_(1)(，4(2)(，1)(1)f(x)x22(a1)x3
8、的开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的4若函数f(x)在区间(，)上是减函数，则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a)Df(a21)a2，所以f(a21)f(a2)故选D.
9、5已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围解设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x21，a1. a的取值范围是1，).1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数yx2在R上是增函数()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()答案(1)(2)(3)2函数yf(x)的图象如图所示，其单调递增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4答案C3函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1，)4已知函数f2x2ax5在区间1，)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是_(，4因为函数f2x2ax5的单调递增区间是，所以1，)，所以1，解得a4.
