1、2.2函数的表示法学 习 目 标核 心 素 养1在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用(重点、难点)2通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(重点、易错点)1通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养2通过求函数解析式，培养数学运算素养.1函数的表示方法有哪几种？2函数的表示方法各有什么优缺点？如何选择函数的表示方法表示具体问题？3什么是分段函数？4分段函数是多个函数吗？5如何画分段函数的图象？知识点1函数的表示法函数的三种表示法各有什么优缺点？提示1.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是_，值域是_答案1,0)(0
2、,21,1)2.若反比例函数f(x)满足f(3)6，则f(x)的解析式为_答案f(x)知识点2分段函数(1)分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数(2)分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象函数y是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？提示函数y是分段函数，它是一个函数3.已知f(x)则f(2)_.答案24.函数y的定义域为_，值域为_答案(，0)(0，)2(0，)5.下列
3、图形是函数yx|x|的图象的是_(填序号) 答案 类型1函数的表示法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解(1)列表法：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000 (2)图象法：(3)解析法：y3 000x，x1,2,3，101解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示2在用三种方法表示函数时，要注意：(1)解析法要注明函数的定义域；(2)列
4、表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法要注意是否连线1已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则f ( g(1)的值为_；当g ( f (x)2时，x_.11由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)3，f ( g(1)f (3)1.由于g (2)2，f (x)2，x1. 类型2函数图象的作法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2(4)y解(1)当x0,2时，图象是直线y2x1的一部分，观察图象可知，其值域为1,5 (2)当x2，)时，图象
5、是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)当2x2时，图象是抛物线yx22x的一部分由图可得函数的值域是1,8(4)函数对应图象如图所示：由图可得其值域为(6,6画函数图象的两种常见方法(1)描点法一般步骤：列表先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；描点从表中得到一系列的点(x，f(x)，在坐标平面上描出这些点；连线用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等2作出下列函数的图象：(1)y1x(xZ)；(2)yx24x3，x1,3(3)y解(1)因为
6、xZ，所以图象为直线y1x上的孤立点，其图象如图所示(2)yx24x3(x2)21，当x1,3时，y0；当x2时，y1，其图象如图所示 (3) 类型3函数解析式的求法用待定系数法求函数解析式【例3】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)16x25，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)解(1)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k(kxb)bk2xkbb16x25，或f(x)4x5或f(x)4x.(2)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x，
7、f(x)x22x1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式利用换元法(配凑法)求函数解析式【例4】求下列函数的解析式：(1)已知f(1)x2，求f(x)；(2)已知f(x2)2x3，求f(x)解(1)法一：(换元法)：令t1，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)法二：(配凑法)：f(1)x2x211(1)21.因为11，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)(2)f(x2)2x32(
8、x2)1，f(x)2x1.已知f(g(x)h(x)求f(x)，常用的两种方法(1)换元法，即令tg(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围(2)配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可用方程组法求函数解析式【例5】已知f(x)2f(x)x22x，求f(x)解因为f(x)2f(x)x22x，将x换成x，得f(x)2f(x)x22x，联立，得将两式消去f(x)，得3f(x)x26x，所以f(x)x22x.已知关于f(x)与f 或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个
9、等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)3(1)已知函数f(x1)3x2，求f(x)；(2)已知fx2，求f(x)；(3)已知f(x)2fx(x0)，求f(x)解(1)法一：(换元法)令x1t，xt1，f(t)3(t1)23t1，f(x)3x1.法二：(配凑法)f(x1)3x23(x1)1，f(x)3x1.(2)f x222，f(x)x22(x0)(3)f(x)2f x，用代替x得f 2f(x)，消去f 得f(x)(x0)，函数f(x)的解析式为f(x)(x0) 类型4分段函数求值问题【例6】已知函数f(x)(1)求f 的值；(2)若f(a)，求a的值解(1)因为f 2，所以f f .(2)f
10、(a)，若|a|1，则|a1|2，得a或a.因为|a|1，所以a的值不存在；若|a|1，则，得a，符合|a|1.所以若f(a)，a的值为.分段函数求值问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可4f
11、(x)则f(5)的值是()A24B21C18D16Af(5)f(f(10)，f(10)f(f(15)f(18)21，f(5)f(21)24.故选A.5已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_当1a0时，a11，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，解得a(舍去)；当1a1，即a0时，a1f(1)的解集是_(3,1)(3，)画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)f(1)，得x3,1,3，所以当f(x)f(1)时，必有x(3,1)(3，)函数图象的变换(探究型)1函数图象的平移变换函数yf(x)的图象与yf(xa)及yf(x)a(a0)的图象有怎样的关系呢？
12、我们先来看一个例子：作出函数yx2，y(x1)2，yx21的图象，观察它们之间有怎样的关系在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示观察图象可知，y(x1)2的图象可由yx2的图象向左平移1个单位长度得到；yx21的图象可由yx2的图象向下平移1个单位长度得到由此得到如下规律：(1)函数yf(xa)的图象是由函数yf(x)的图象沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”2函数图象的对称变换函数yf(x)的图象与yf(x)，yf(x)及yf(x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：作出函数y，y，y，y的图象，观察它们之间有怎样的关系在同一
13、平面直角坐标系中作出y，y，y与y的图象的一部分，如图所示观察图象可知，y的图象可由y的图象作关于y轴的对称变换得到；y的图象可由y的图象作关于x轴的对称变换得到；y的图象可由y的图象作关于原点的对称变换得到由此可得如下规律：函数图象的对称变换包括以下内容：(1)yf(x)的图象可由yf(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；(2)yf(x)的图象可由yf(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；(3)yf(x)的图象可由yf(x)的图象作关于原点的对称变换得到3函数图象的翻折变换函数图象的翻折变换是指函数yf(x)与y|f(x)|，yf(|x|)的图象间的关系函数yf(x)的图象与y|f(x)|及
14、yf(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：作出函数y|x22x3|及yx22|x|3的图象，观察它们与函数yx22x3的图象之间有怎样的关系事实上，y|x22x3|yx22|x|3在不同的平面直角坐标系中，分别作出y|x22x3|与yx22|x|3的图象，如图(1)(2)所示(1)(2)通过观察两个图象可知，y|x22x3|的图象可由yx22x3的图象经过下列变换得到：保持yx22x3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y|x22x3|的图象yx22|x|3的图象可由yx22x3的图象经过下列变换得到：保持yx22x3的图象在y轴上及其右侧的部分
15、不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了yx22|x|3的图象由此可得如下规律：(1)要作y|f(x)|的图象，可先作yf(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可(2)要作yf(|x|)的图象，可先作yf(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)任何一个函数都可以用函数的三种表示方法表示()(2)函数f(x)2x1不能用列表法表示()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案(1)(
16、2)(3)2已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1x222x4f(x)123A1B2C3D不存在答案C3函数y|x1|的图象是() AB CDAy|x1|由解析式可知，A项符合题意4如果一次函数f(x)的图象过点(1,0)及点(0,1)，则f(3)_.2设一次函数的解析式为f(x)kxb，因为其图象过点(1,0)，(0,1)，所以解得k1，b1，所以f(x)x1，所以f(3)312.5已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_f(x)由图可知，图象是由两条线段组成，当1x0时，设f(x)axb，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则当0x1时，设f(x)kx，将(1，1)代入，则k1.f(x)