1、4.2一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集(重点、难点)2借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系(难点)1通过学习一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养2通过一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力.1一元二次不等式的概念是什么？2一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3求解一元二次不等式ax2bxc0(a0)的过程是什么？知识点1一元二次不等式的概念1定义：一般地，只含有一
2、个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式2一般表达式：ax2bxc0或ax2bxc0是一元二次不等式吗？(2)一元二次不等式的一般形式中“a0”可以省略吗？提示(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式(2)不可以，若a0，就不是二次不等式了1.下面所给关于x的几个不等式：3x40；ax24x70；x20)的图象与方程ax2bxc0的实数根、不等式ax2bxc0和ax2bxc0)方程ax2bxc0的判别式b24ac000方程ax2bxc0的实数根x1,2(x10的解集x|xx2R不等式ax2bxc0的解集x|x1x0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？(2)关于x的不等
3、式ax2bxc0的解集为，a，b，c满足的条件是什么？提示(1) 或 .(2) 或 .2.不等式x(x2)0的解集为_，不等式x(x2)0的解集为_答案x|x2x|0x0的解集是_R因为(2)243141280的解集为R. 类型1一元二次不等式的解法二次项系数大于0【例1】解不等式3x25x20. 解方程3x25x20的两解是x12，x2.函数y3x25x2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(2,0)和.观察图象(下图)可得，不等式的解集为.二次项系数小于0【例2】解不等式2x23x20.解原不等式化为2x23x20，2x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的
4、解集是.即原不等式的解集是.一元二次不等式一般解题步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集1解不等式：x22x1. 解 原不等式化为x22x10. 0，方程x22x10有两相等实根x1x21.函数yx22x1的图象是开口向上的抛物线，如下图观察图象可得，原不等式的解集为x|x1 类型2含参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式ax22x10时，44a，0即0a1时，不等式的解集为；0即a1时，不等式的解集为.(3)当a0，不等式的解集为x|x解含参数的一元
5、二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数(3)当0时，讨论相应一元二次方程两根的大小简记为“一a，二，三两根大小”. 最后对系数中的参数进行完全分类，即将(，)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集2解关于x的不等式x2ax2a20.解 原不等式变形为(x2a)(xa)0，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a; 若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa; 若a0，则原不等式即为x20，此时解集为. 类型3三个“二次”关系的应用【例4
6、】(1)若不等式ax2bx20的解集为，则ab()A28B26C28D26(2)若关于x的不等式ax26xa20，所以解得一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)求解步骤：第一步：审结论明确解题方向如要解ax2bxc0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值第二步：审条件挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.第三步：建联系找解题突破口由给定不等式的解集形式确定关于a，b，c的方程组用c表示a，b代入所求不等式求解ax2bxc0；x26x100；2x23x40，解集不为R；中624100.满足条件；中不等式可化为2x23x30，所对应的二次函数开口向上，显然不可能故选C.3设集合Sx|x|5，Tx|x24x210，则ST()Ax|7x5Bx|3x5Cx|5x3Dx|7x5CSx|5x5，Tx|7x3，STx|5x34不等式2x2x150的解集为_由2x2x15(2x5)(x3)0，得3x0的解集为，则a_，c_.61由题意知，方程ax25xc0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，解得a6，c1.
