1、4.4 对数函数l 考纲要求1了解对数函数的概念能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象2探索并了解对数函数的单调性与特殊点3知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a0，且a1)l 知识解读知识点对数函数概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)知识点对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识点反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识点注意事项1在对数式中，真数必须是大于0的，所
2、以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围l 题型讲解题型一、对数函数的概念例1若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(2)_.例2函数f(x)的定义域是( )A(，1)(3，) B(1，3)C(，2)(2，) D(1，2)(2，3)例3函数fln 的单调递增区间为( )A BC D题型二、对数函数的图像和性质例1函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过的定点是_.例2函数ylogax(
3、a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a_例3在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)与g(x)logax的图象可能是( )例4函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为()例5方程log2(x1)2log2(x1)的解为_.例6设函数f(x)，若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_.例7当0x时，4xbc BacbCcba Dcab例10(多选)若实数a，b满足loga2logb2，则下列关系中可能成立的有()A0ba1 B0a1b1 D0b1a例11(2022广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且ln x1，ln(x21)，lg x3，则()Ax1x2x3 B
4、x1x3x2Cx2x3x1 Dx2x1x3例12设alog63，blog126，clog2412，则()Abca BacbCabc Dcb0且a1)求函数f(x)的定义域；若函数f(x)在区间0，3上的最小值为2，求实数a的值题型三、不同函数增长的差异例1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x例2在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()AyabxByabxCyax2bDya例3函数yx2与函数yxln x在区间
5、(1，)上增长较快的一个是_例4某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致为()l 达标训练1对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()Aylog4xBylogxCylogxDylog2x2已知集合A0,1,2，Bx|log3x1，则AB()A1,2 B0,1,2C0,1,2,3 Dx|0x0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_6(2022潍坊模拟)已知f(x)1log3x(1x9)，设函数g(x)f2(x)f(x2)，则g(x)maxg(x)min 4.4 对数函数l 考纲要求
6、1了解对数函数的概念能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象2探索并了解对数函数的单调性与特殊点3知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a0，且a1)l 知识解读知识点对数函数概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)知识点对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识点反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称知识点注意事项1在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义
7、域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围l 题型讲解题型一、对数函数的概念例1若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(2)_.【答案】1【解析】由已知得f(x)log2x，所以f(2)log221.例2函数f(x)的定义域是( )A(，1)(3，) B(1，3)C(，2)(2，) D(1，2)(2，3)【答案】D【解析】由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选D例3函数fln 的单调递增区间为( )A B
8、C D【答案】D【解析】由题得3x26x240，得x4或x4或x0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a_【答案】2或【解析】分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a0)与g(x)logax的图象可能是( )【答案】A【解析】易知g(x)的图象过点(1，0)若0a0)单调递增，且递增趋势越来越慢，函数g(x)logax单调递减显然四个选项不满足条件若a1，则函数g(x)logax单调递增，函数f(x)xa(x0)单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项A满足条件例4函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画
9、出x1，所以x.例6设函数f(x)，若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_.【答案】(1,0)(1，)【解析】由题意得或解得a1或1a0.例7当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数的图象如图所示，可知fg，即2，所以a的取值范围为例8(2018天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab【答案】D【解析】因为cloglog23log2ea，所以ca.因为bln 21log2ea，所以ab.所以cab.例9设a，blog7，clog87，则()Aabc BacbCcba Dcab【答案】D【解析】alog7b
10、log7，clog87log8a，所以cab.例10(多选)若实数a，b满足loga2logb2，则下列关系中可能成立的有()A0ba1 B0a1b1 D0b1a【答案】ABC【解析】当0ba1时，log2blog2a0，即0，故loga2logb2，A正确；当0a10，loga20，故loga2b1时，log2alog2b0，即0，故loga2logb2，C正确；当0b1a时，logb20，故loga2logb2，D错误例11(2022广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且ln x1，ln(x21)，lg x3，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x3x1 Dx2x1x3【答案】D【
11、解析】画出函数yx，yln x，yln(x1)，ylg x的图象，如图所示数形结合，知x2x1x3.例12设alog63，blog126，clog2412，则()Abca BacbCabc Dcba【答案】C【解析】因为a，b，c都是正数，所以log361log32，log6121log62，log12241log122，因为log32，log62，log122，且lg 3lg 6log62log122，即，所以ab0且a1)求函数f(x)的定义域；若函数f(x)在区间0，3上的最小值为2，求实数a的值【答案】a【解析】依题意得解得2x1，则loga5logatloga9，f(x)minlog
12、a52，则a21(舍去)，若0a1，则loga9logatloga5，f(x)minloga92，则a2，又0a1，a综上，a题型三、不同函数增长的差异例1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x【答案】B【解析】D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意例2在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()AyabxByabxCyax2bDya【答案】B【解析
13、】在坐标系中描出各点，知模拟函数为yabx.例3函数yx2与函数yxln x在区间(1，)上增长较快的一个是_【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，x2要比xln x增长的要快【答案】yx2例4某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致为()【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，函数为对数函数，所以函数yf(x)的图象大致为D中图象，故选D.l 达标训练1对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()Aylog4xBylogxCylo
14、gxDylog2x【答案】D【解析】设该函数为ylogax，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4loga16，得a2.所以对数函数的解析式为ylog2x，故选D.2已知集合A0,1,2，Bx|log3x1，则AB()A1,2 B0,1,2C0,1,2,3 Dx|0x3【答案】A【解析】由log3x1，解得0x3，所以Bx|0x1，cln 1时，logaxloga(23x)，所以解得0x.当0a1时，原不等式等价于解得x.综上，当a1时，原不等式的解集为；当0a1时，原不等式的解集为.14. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长记2015年为第
15、1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量【答案】(1)f(x)x，xN (2)f(x)x，xN 9.1【解析】(1)符合条件的是f(x)axb，若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(
16、x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知相差太大，不符合若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与已知不符合由已知得解得所以f(x)x，xN.(2)2021年预计年产量为f(7)713，2021年实际年产量为13(130%)9.1.答：最适合的函数模型解析式为f(x)x，xN.2021年的年产量为9.1万件l 课后提升1设正实数a，b，c分别满足a2a1，blog2b1，clog3c1，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dacb【答案】C【解析】由已知可得2a，log2b，log3c，作出函数y2x，ylog2x，ylog3x的图象，它们与函
17、数y图象的交点的横坐标分别为a，b，c，如图所示，易得cba.2(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab【答案】B【解析】alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，01，abab0.3(多选题)有如下命题，其中真命题的标号为()Ax0(0，)，x0 x0Bx0(0,1)，logx0logx0Cx(0，)，xlogxDx，xlogx【答案】BD【解析】对A选项，构造幂函数yxx0
18、(x00)，因为x00，所以幂函数在(0，)单调递增，因为，所以 x0 x0恒成立，故A是错误的；对B选项，如图所示，ylogx的图象为虚线部分，ylogx的图象为实线部分，显然x0(0,1)，使得logx0logx0成立，故B正确；对C选项，x(0，)，0x1恒成立，而当x时，log2，所以xlogx不会恒成立，故C错误；对D选项，x，由指数函数yx的图象知，函数值恒小于1，由对数函数ylogx的图象知，函数值恒大于1，所以xlogx恒成立，故D正确4(2020全国)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在上单调递增B是奇函数，且在上单调递减C是偶函数，且在
19、上单调递增D是奇函数，且在上单调递减【答案】D【解析】f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定义域为.又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)为奇函数，故排除A，C.当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnlnln，y1在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减5已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上单调递减，由f(x)1在区间1，2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，即82aa，且82a0，解得1a当0a1在区间1，2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，即8a0解得a，综上可知，实数a的取值范围是6(2022潍坊模拟)已知f(x)1log3x(1x9)，设函数g(x)f2(x)f(x2)，则g(x)maxg(x)min .【答案】5【解析】由题意得1x3，g(x)的定义域为1,3，g(x)f2(x)f(x2)(1log3x)21log3x2(log3x)24log3x2，设tlog3x，则0t1，则yt24t2(t2)22，在0,1上单调递增，当t0即x1时，g(x)min2，当t1即x3时，g(x)max7，g(x)maxg(x)min5