1、山东省淄博实验中学2019届高三数学寒假学习效果检测（开学考试）试题 文（含解析）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合那么集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解对应方程组，即得结果【详解】由得所以，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，在复平面内的对应点关于实轴对称,所以,所以,故选B.3.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？
2、 ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何
3、概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误4.如图，在正方体中，为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取中点，连接平面为截面，然后即可得出侧视图.【详解】取中点，连接平面为截面如下图：故选：C【点睛】本题考查的是三视图的知识，较简单，解题的关键是把截面作出来.5.若命题“”为假命
4、题，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题干的到命题等价于恒成立，故只需要判别式小于等于0即可.【详解】若命题“，”为假命题,则命题等价于恒成立，故只需要 故答案为C.【点睛】这个题目考查了由命题的真假求参数的范围问题，是基础题.6.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基
5、底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算7.已知函数，则的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，排除B选项.由于，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.8.若关于x的不等式在区间上有解，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用分离参数法得出不等式kx在x1，2上成立，根据函数f（x）=x在x1，2上的单调性，即可
6、求出k的取值范围【详解】关于x的不等式x2+kx10在区间1，2上有解，kx1x2在x1，2上有解，即kx在x1，2上成立； 设函数f（x）=x，x1，2，f（x）=10恒成立，f（x）在x1，2上是单调减函数，且f（x）的值域为，0，要kx在x1，2上有解，则k，即实数k的取值范围为（，+）故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查了不等式的有解问题，考查利用导数求函数的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法，本题利用的是分离参数法，解题效率比分类讨论法解题效率高.9.直三棱柱中，则直线与所成角的大小为A. 30B. 60C. 9
7、0D. 120【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角，然后求解即可【详解】因为几何体直三棱柱，BCB1C1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，连结，取BC的中点H,连结OH，则直线与所成的角为就是 设易得 ，三角形AOH是正三角形，异面直线所成角为60故选B【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的
8、2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，解得，当时，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B12.函数，若不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图像，由图可知关于直线对称，所以，再由图像得到的范围，从而得到结果.【详解】
9、作出函数的图象，不妨令 ，由图可知关于直线对称，所以 当时，最小值为；当时，由得此时是的最小取值，所以，故而.故选B.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”斐波那契数列满足：，记其前项和为，设（为常数），则_（用表示）【答案】【解析】【分析】由结合即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】
10、本题考查的是递推公式和前项和的知识，较简单.14.已知，则_【答案】1【解析】【分析】将题干中的两式平方相加得到，再由两角和的正弦公式得到结果.【详解】,相加得,.故答案为1.【点睛】1.利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化;2.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.15.已知双曲线的上支交抛物线 于两点，双曲线的渐近线在第一象限与抛物线交于点为抛物线的焦点，且，则 _.【答案】1【解析】【分析】联立抛物线方程和双曲线方程，运用韦达定理，求得渐近线方程，联立抛物线方程求得C的横坐标，再由抛物线的定义，解
11、方程可得m的值【详解】联立得x24m2x+m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，x1+x24m2，x1x2m2，由渐近线y和抛物线y24x可得x0和x4m2，即C的横坐标为4m2，抛物线y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1，由抛物线的定义可得，即为+，即有，化为16m413m230，解得m21，即m1故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用抛物线的定义和方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题16.设的内角的对边分别为 ，若，且的面积为25，则周长的最小值为_【答案】【解析】【分析】在中，由余弦定理化简求得，即，再根据面积公式求得，进而利用基本不等式，即可求
12、解周长的最小值.【详解】在中，由余弦定理可得：，即，即，即，所以三角形的面积为，则的周长为，当时取得等号，所以的周长最小值为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理求解三角形问题，同时考查了三角形面积公式和基本不等式求最小值问题，其中解答中根据余弦定理求得，在利用面积公式求得，然后利用基本不等式求最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列是公差为的等差数列，若成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为,求满足成立的的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【
13、分析】（1）根据等差数列的公差为-2，且成等比数列列出关于公差的方程，解方程可求得的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可知，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）成等比数列，解得：，. （2）由题可知， ， 显然当时，,又因为时，单调递增，故满足成立的的最小值为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分
14、别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18.已知如图1所示，在边长为12的正方形，中，且分别交于点、，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱，在该三棱柱底边上有一点，满足；请在图2中解决下列问题： （1）求证：当时，平面；（2）若，求三棱锥体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）过作交于，连接，证明四边形为平行四边形，然后得出即可.（2）易得，然后用算出即可.【详解】（1）证明：在下图中，过作交于，连接，所以，共面且平面交平面于，又，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2）因为，所以，从而，即因为所以所以【点睛】在算三棱锥的体积的时候要利用图形的特点，
15、看把哪个侧面当成底面更好算一些.19.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1 图1 图2（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；该汽车交易市场对
16、使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金附注：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；参考数据：【答案】（1）0.40；（2） 0.29万元【解析】【分析】由频率分布直方图可得，该汽车交易市场年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，从而得出的概率求出关于的线性回归方程为，分别求出和，继而求出关于的回归方程分别求出对应的频率，然后计算平均佣金【详解】（1）由频率分布直方
17、图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为 所以 （2）由得，即关于的线性回归方程为 因为，所以关于的线性回归方程为， 即关于的回归方程为 根据中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元【点睛】本题主要考查了非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基
18、础题20.已知椭圆的离心率为为左焦点，过点作轴的垂线，交椭圆于两点，（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于两点，为坐标原点，问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）对k分类讨论，利用设而不求法即可得到为定值.【详解】（1）离心率为，则，则椭圆E的标准方程为 （2）当切线斜率不存在时，取切线为时，代入椭圆方程是，或，同理，取切线为时，当切线斜率存在时，设切线，则， 联立设，则， 把代入得，综合以上，为定值0【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求
19、出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21.已知函数 （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2) (3) 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可知，在的导数是曲线在处切线的斜率，列方程求；（2）不等式变形为设，可得递增，所以在恒成立，变形为恒成立，转化为求函数最值；（3）不等式等价于，设，求，然后讨论极值点和定义域的关系，分，和三种情况求函数在上的最小值，令最小值小于0，分别解关于的不等式，得到的取值范围.
20、【详解】（1）的导数为，曲线在处的切线斜率为，由切线的方程为，可得，解得；（2），对任意两个不等正数，都有恒成立，即为令，可得递增，由恒成立，可得的最大值，由可得最大值，则，即的取值范围是；（3）不等式等价于， 整理得，设，则由题意可知只需在上存在一点，使得对求导数，得因为，所以，令，得若，即时，令，解得若，即时，在处取得最小值，令，即，可得 对于式子，因为，可得左端大于，而右端小于，所以不等式不能成立当，即时，在上单调递减，只需，得，又因为，则综上所述，实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，极值和最值的综合问题，本题第2问考查不等式恒成立，通过构造函数，判断函数的单调性，转
21、化为导数恒为正数，通过参变分离的方法转化为函数最值问题，第3问是在给定区间存在使不等式成立，转化为求函数的最小值，令最小值小于0.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为，设直线与曲线相交于两点(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)求的值【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（） 点A的直角坐标为（3
22、，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）将（t为参数）与（x2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP|AQ|=1，转化求解|AP|AQ|OP|OQ|的值【详解】曲线C的直角坐标方程为：，即，直线l的普通方程为点A的直角坐标为，设点P，Q对应的参数分别为，点P，Q的极坐标分别为，将为参数与联立得：，由韦达定理得：，将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：，由韦达定理得：，即所以，【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数当时，求不等式的解集；，求a的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【详解】（1）当时，当时，令，即，解得，当时，显然成立，所以，当时，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想