1、第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角自 学 导 引(学生用书P1)1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角.2.掌握象限角终边相同的角终边在坐标轴上的角的表示方法.3.了解角的概念的推广是为了满足解决现实生活和生产中实际问题的需要,学会用数学的观点分析解决实际问题,通过训练各种的表示法提高分析抽象概括的能力.课 前 热 身(学生用书P1)1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定:按逆时针方向旋转形成的角叫做_;按顺时针方向旋转形成的角叫做_;不做任何旋转形成的角叫做_.正角负角零角2.象限角:当角的顶点与坐标原点重合
2、,角的始边与x轴的正半轴重合.那么角的终边落在第几象限,就说这个角是_;当角的终边与坐标轴重合时,就说这个角为_.3.终边相同的角:与角终边相同角的集合可表示为_.第几象限的角坐标轴上的角|=k360+,kZ名 师 讲 解(学生用书P1)1.将角的概念推广后,注意区分锐角与第一象限的角.锐角的集合为|090,第一象限的角的集合为(k360,k360+90)(kZ),显然锐角集合是第一象限角集合的子集.2.与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,这里的角应理解为任意角.从这个集合的描述我们可以得到以下结论:与角终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍;与角终边相同的角与角不一定相
3、等,但相等的角的终边一定相同.3.象限角第一象限的角的集合为:(k360,k360+90);第二象限的角的集合为:(k360+90,k360+180);第三象限的角的集合为:(k360+180,k360+270);第四象限的角的集合为:(k360-90,k360);以上kZ.4.坐标轴上的角当角的终边落在x轴的非负半轴上,角的集合为:x|x=k360,kZ;当角的终边落在x轴非正半轴上,角的集合为:x|x=k360+180,kZ;当角的终边落在x轴上的角的集合为:x|x=k180,kZ;当角的终边落在y轴的非负半轴上,角的集合为:x|x=k360+90,kZ;当角的终边落在y轴的非正半轴上,角
4、的集合为:x|x=k360-90 kZ;当角的终边落在y轴上的角的集合为:x|x=k180+90,kZ;当角的终边落在坐标轴上的角的集合为:x|x=n90,nZ.典 例 剖 析(学生用书P2)题型一 基本概念题例1:下列各命题正确的是()A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于90的角都是锐角分析:本题可用排除法予以解答,也可利用角的定义直接判断.解析:解法1:对于A,-60和300是终边相同的角,它们并不相等,则应排除A;对于B,390是第一象限的角,但它不是锐角,则应排除B;对于D,-60是小于90的角,但它不是锐角,则应排除D.综上知,应选C.解法2
5、:因为锐角的集合是|090,第一象限的角的集合是a|k360k360+90,kZ,当k=0时,两集合相等,所以锐角是第一象限的角.答案:C规律技巧:要想否定一个命题,只需举出一个反例即可,解法1就是恰当地举出一个反例,将ABD三个选项予以排除,从而确定选项C;要想肯定一个命题,则需严格推证.变式训练1:已知集合A=第一象限的角,B=锐角,C=小于90的角,则下面正确的是()A.A=B=C B.ABC.AC=BD.以上都不对解析:A=第一象限的角=|k360k360+90,kZ,B=锐角=|090,C=|90.易知BA,BC,但ACB,所以ABC均不正确.答案:D题型二 终边相同的角例2:写出在
6、-720720范围内与-1020终边相同的角.分析:先写出与-1020终边相同的所有角,然后取k值求满足条件的角.解:-1020=-3603+60,和-1020终边相同的所有角为k360+60,kZ.根据题意有:-720k360+60720,解之得k=-2,-1,0,1.从而所求的角为:-2360+60=-660,-1360+60=-300,0360+60=60,1360+60=420.规律技巧:写出与-1020终边相同的角的集合时,尽可能地用一个简单的角.变式训练2:与-490终边相同的角的集合是_,它们是第_象限角,其中最小正角是_,最大负角是_.解析:-490=-2360+230与-49
7、0终边相同的角为|=k360+230,kZ230角的终边在第三象限.它们是第三象限的角.令k=0,得最小正角为230,令k=-1,得最大负角为-130.|=k360+230,kZ三230-130题型三 象限角的确定例3:若是第一象限角,则分别是第几象限角?分析:由是第一象限角可知k360k360+90(kZ),则的范围分别为2k36022k360+180(kZ),k180k180+45(kZ).通过对整数k分类讨论可知:2是第一二象限角或终边落在y轴正半轴上的角,是第一三象限角.解:k360k360+90(kZ),2k36022k360+180(kZ)2是第一二象限角或终边落在y轴正半轴上的角
8、.又k180k180+45(kZ)当k=2n(nZ)时,n360n360+45,是第一象限角;当k=2n+1(nZ)时,n360+180n360+225,是第三象限角.故是第一三象限角.规律技巧:若已知角是第几象限角,判断等是第几象限角,主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论.(1)求解题的思维模式应是:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.(2)由的象限确定2的象限时,应注意2可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如=135而2=270就不再是象限角.变式训练3:设是第二象限角,则的终边不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:是第二象限角,k
9、360+90k360+180,k120+30k120+60,这里kZ,令k=0,得3060,在第一象限;令k=1,得150180,在第二象限;令k=2,得270300,在第四象限.因此,的终边不可能在第三象限.答案:C易 错 探 究(学生用书P3)例4:若时针走过2小时40分,则分针转过的角度是_.错解:2小时40分小时.360=960.答案：960错因分析:没有注意到实际问题中时针分针都是顺时针旋转,应为负角.正解:2小时40分=小时,-360 =-960.答案:-960技 能 演 练(学生用书P3)基础强化1.下列命题中正确的是()A.终边在x轴负半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C
10、.第四象限角一定是负角D.若=+k360(kZ),则与终边相同解析:易知ABC均错,D正确.答案:D2.若为第一象限角,则k180+(kZ)的终边所在的象限是()A.第一象限B.第一二象限C.第一三象限D.第一四象限解析:取特殊值验证.当k=0时,知终边在第一象限;当k=1,=30时,终边在第三象限.答案:C3.下列各角中,与角330的终边相同的是()A.150B.-390C.510D.-150解析:330=360-30,而-390=-360-30,330与-390终边相同.答案:B4.把-1485化成k360+(0360,kZ)的形式是()A.-4360+45B.-4360-315C.-10
11、180-45D.-5360+315解析:-1485=-5360+315.答案:D5.设集合A=x|x=k180+(-1)k90,kZ,B=x|x=k360+90,kZ,则集合A,B的关系是()A.ABB.ABC.A=BD.AB=解析:集合A表示终边在y轴非负半轴上的角,集合B表示终边也在y轴非负半轴上的角.A=B.答案:C6.若A=|=k360,kZ,B=|=k180,kZ,C=|=k90,kZ,则下列关系中正确的是()A.A=B=CB.A=BCC.AB=CD.ABC解析:A表示终边在x轴非负半轴上的角的集合,B表示终边在x轴上的角的集合,C表示终边在坐标轴上的角的集合.ABC.答案:D7.若
12、为第四象限的角,则180+为_象限的角.解析:解法1:为第四象限的角,逆时针旋转180,则+180终边落在第二象限.解法2:k360-90k360,k360+90+180k360+180,kZ,令k=0知,+180在第二象限.第二8.在(-720,720)内与100终边相同的角的集合是_.解析:与100终边相同的角的集合为=k360+100.令k=-2,-1,0,1取得=-620,-260,100,460.-620,-260,100,460能力提升9.如下图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是()A.|-45120B.|120315C.|k360-45k360+120,kZD.|k3
13、60+120k360+315,kZ解析:由图知,-45120,两边应加上k360(kZ).取得k360-45k360+120.答案:C10.自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少?解:当大链轮转过一周时,转过了48个齿,小链轮也必须同步转过48个齿,因此,小链轮转2.4周,小链轮转过的角度是3602.4=864.品 味 高 考(学生用书P3)11.(2004黑龙江)已知-990-630,且与120角的终边相同,则=_.解析:与120角的终边相同,则可以表示为=k360+120,kZ,要使-990-630,则取k=-3,此时=-960.-96012.(2005全国)已知为第三象限的角,则所在的象限是()A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限解析:为第三象限角,k360+180k360+270(kZ),k180+90k180+135(kZ),当k=0知,在第二象限;当k=1知,在第四象限.答案:D
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