1、第2课时排列数的应用学 习 任 务核 心 素 养1进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法(重点)2能应用排列知识解决简单的实际问题(难点)1通过排列知识解决实际问题，提升数学建模、逻辑推理的素养2借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 类型1无限制条件的排列问题【例1】(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？思路点拨(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互
2、之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算解(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A54360，所以共有60种不同的送法(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是555125，所以共有125种不同的送法1没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可2对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解1(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有_种不同的分法(2)从班委会5名成员中
3、选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有_种(1)720(2)60(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题故不同分法的种数为A1098720(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A54360种选法 类型2排队问题元素“相邻”与“不相邻”问题【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻解(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法
4、；女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法由分步乘法计数原理知，共有AAA288种排队方法(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法故有AA720种排队方法(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有AA1 440种排法(4)排好男生后让女生插空，共有AA144种排法“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松
5、绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素25人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A18B24 C36D48C5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3AA36(种)元素“在”与“不在”问题【例3】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站最左端，乙不站最右端解(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有
6、站法AA480种法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法AA480种法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A2A480种(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA48种站法(3)法一：甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A种，共有A2AA504种站法法二：以元素甲分类可分为两类：a甲站最右端有A种，b甲在中间4个
7、位置之一，而乙不在最右端有AAA种，故共有AAAA504种站法“在”与“不在”问题的解决方法34名运动员参加4100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有()A12种 B14种 C16种 D24种B用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A24种排法，减去甲跑第一棒有A6种排法，乙跑第四棒有A6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A2种排法，共有A2AA14种不同的出场顺序定序问题【例4】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)则有多少种不同的排列方法？解5个不同元素中
8、部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有240(种)法二：(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有AA种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法所以有AAA20(种)不同的排列方法同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法因此，满足条件的排列有202040(种)
9、在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：1整体法：即若有mn个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这mn个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法2插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中4用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有_个七位数符合条件210若1,
10、3,5,7的顺序不定，有A24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的故有A210(个)七位数符合条件 类型3数字排列问题1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？提示偶数的个位数字一定能被2整除先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成248(个)不同的偶数2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在09这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?提示在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体
11、排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从19这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置【例5】(对接教材P12例6)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？思路点拨这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则另外，还可以用间接法求解解(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A
12、种填法，故共有AAA288(个)六位奇数法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A种排法，故共有AAA288(个)六位奇数法三：排除法6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A3A3A288(个)(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个故符合题意的六位数共有A2AA504(个)法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当
13、个位排0时，符合条件的六位数有A个第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个故共有符合题意的六位数AAAA504(个)(变结论)用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则240 135是第几项？解(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有AA个故满足条件的五位数的个数共有AAA216(个)(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2，
14、3，4，5，共AA个；第二类，形如14，15，共有AA个；第三类，形如134，135，共有AA个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：AAAAAA270(个)(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，240 135的项数是A3A1193，即240 135是数列的第193项解数字排列问题常见的解题方法1“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充如“0”不排“首位”2“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不
15、重不漏3“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数4“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好5用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是()A24 B32 C36 D48A先排5,6，有A种排法；将1,2捆绑在一起有A种排法；将1,2这个整体和3以及4全排列，有A种排法所以符合题意的六位数的个数为AAA2416名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A36 B120C720 D240C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A7202某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(
16、)A8 B12 C16 D24B设车站数为n，则A132，n(n1)132，n123从0,1,3,5,7,9六个数中，任取两个做除法，可得到不同的商的个数是()A30 B25 C20 D19D当选出的数字有一个是0时，0只能做分子，不能做分母，有1种结果为0；当选出数字没有0时，五个数字从中任选两个，共有A种结果，而在这些结果中，有相同的数字重复出现，和，和，可以得到不同的商的个数是A21194用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有_个144先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA144个5A，B，C，D
17、，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有_种24把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A24种回顾本节内容，自我完成以下问题：1求解排列问题的基本思路是什么？提示2求解排列问题的主要题型及方法有哪些？提示直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法