1、1.4 生活中的优化问题举例问题提出 1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间a，b上一定存在最大值和最小值？函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线2.如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值？将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值.3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大，成本最低，用料最省等实际问题，这些问题通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要课题.探究（一）
2、：海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？版心高为16dm，宽为8dm时，探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利 润的影
3、响【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的定义域是什么？（0，6思考4：函数 是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考5：函数的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影响？Oxy236当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零；当
4、r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润.探究（三）：磁盘的最大存储量问题【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示.为了保障磁盘的分
5、辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.Rr思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？Rr思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？最内一条磁道.思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？Rr思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？思考5：若R为定值，r为变量，那么这张磁盘的存储量如何变化？有何最值？时，存储量最大.Rr思考6：如果每条磁道存储
6、的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？Rr时，存储量最大.理论迁移 例 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60 x)x2万元，并且技改投入比率.求当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大？技改投入40万元小结作业 1.解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题 2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值，
7、要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便.3.对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点.例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？20km/h 例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？高为1.2m，最大容积为1.8m3.例3 如图所示，一条宽为1m的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度至少为多少m？细杆走廊走廊1m
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