1、3.2 立体几何中的向量法(2)第三章空间向量与立体几何空间向量与空间距离本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲.接着探讨点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距离的求法.例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大小问题，而实质还是求两点间的距离问题.例3是求点面距离，需要建立恰当的坐标系，利用向量法解决.运用转化思想，将面面距离转化为点面距离、点面距离转化为点点距离，运用运动变化思想探究.alaablABB1A1n用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建
2、立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题.点到直线的距离点P与直线l的距离为d,则设E为平面外一点,F为内任意一点,为平面的法向量,则点E到平面的距离为:点到平面的距离a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距
3、离为异面直线间的距离平面与平面的距离问题A，P分别是平面a与b上任意一点，平面a与b的距离为d,则mDCPA例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。典例展示（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1
4、D1ABCD分析:分析:这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：所求的距离是如图所示，在120的二面角 AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A、B，已知ACABBD6，试求线段CD的长解：取CD的中点O，连结OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.例2.分析:1.如图，在正方体ABCD-A
5、1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.zxyABCC1EA1B1zxyABCC1取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1二、利用向量求距离1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）.2.点到直线的距离：求出垂线段的向量的模.3.直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离.一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模4.平行与平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.5.异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模.课后练习课后习题
