1、丰台区20192020学年度第二学期综合练习（一） 高三数学 2020.04第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，则（A）（B）（C）（D）2 已知向量，满足，则 （A）（B）（C）（D）3 若复数满足，则对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4 圆的圆心到直线的距离为（A）（B）（C）（D）5 已知，则（A）（B）（C）（D） 6 “”是“”成立的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱
2、锥的四个面中，面积等于的有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个8. 过抛物线的焦点作倾斜角为60的直线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为（A）（B）（C）（D）9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（A）为偶函数（B）（C）当时，在上有3个零点（D）若在上单调递减，则的最大值为910. 已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D） 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 设数列的前项和为， ，则 12. 若，则函数的最小值为 ，此时 13. 已知平面和三条不同的直线
3、.给出下列六个论断：；.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是 （填上你认为正确的一组序号）14 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： 对，变换：求集合的补集； 对任意，变换：求的共轭复数； 对任意，变换：（均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 . 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15 已知双曲线的渐近线是边长为1的菱形的边所在直线若椭圆经过两
4、点，且点是椭圆的一个焦点，则 .三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题共14分）在中，角，所对的边分别为，.已知，.（）当时，求；（）求的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面平面. （）求证：平面； （）求证：平面；（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区
5、服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025C15050403030（）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“,”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“,”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数.（）若曲线在点
6、处的切线斜率为1，求实数的值；（）当时，求证：；（）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.（）求椭圆的方程；（）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列：且.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定.（）写出下列数列的“伴生数列”： 1，2，3，4，5； 1，1，1，1，1.（）已知数列的“伴生数列”：，且满足.（i）若数列中存在相邻两项为1，求证：数列中的每一项均为1；（）求数列所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，
7、在试卷上作答无效）丰台区20192020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考 202004一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案CDBBCACDDA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分1125 123 ；2 13（或） 14. 15. 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共14分）解：（） 由余弦定理，得. 所以. 6分（） 由可知，即. . 因为，所以. 故.因此.于是. 14分17.（本小题共14分）证明：（）因为， 平面， 平面， 所以平面. 3分 （）取的中点，连接. 在直角梯形中，
8、易知，且.在中，由勾股定理得.在中，由勾股定理逆定理可知.又因为平面平面， 且平面平面，所以平面. 7分（）取的中点，连接，.所以，因为平面，所以平面.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.易知平面的一个法向量为.假设在棱上存在一点，使得二面角的大小为.不妨设， 所以， 设为平面的一个法向量，则 即令，所以. 从而. 解得或.因为，所以.由题知二面角为锐二面角.所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时. 14分18（本小题共14分）解：（）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件 ， .所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，
9、并且参与社区消毒工作的概率为. 4分（）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为.X的所有可能取值为0，1，2，3. ,.X的分布列为： X0123P11分（） 14分 19.（本小题共15分）解：（）因为， 所以.由题知，解得. 4分（）当时， 所以. 当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以. 8分（）由（）知，. 若，则当时，在区间上单调递增，此时无极值. 若，令，则.因为当时，所以在上单调递增.因为， 而，所以存在，使得.和的情况如下：因此，当时，有极小值.综上，的取值范围是. 15分 20（本小题
10、共14分）解：（）由题意 解得. 所以椭圆的方程为. 5分 （) 假设存在点使得.设， 因为, 所以.则. 即，所以. 因为直线交椭圆于两点，则两点关于轴对称. 设， 因为，则直线的方程为：.令，得. 直线的方程为：.令，得.因为，所以.又因为点在椭圆上，所以.所以.即.所以存在点使得成立. 14分 21（本小题共14分）解: （） 1，1，1，1，1； 1，0，0，0，1. 4分 （）（i）由题意，存在，使得. 若，即时，.于是.所以，所以.即.依次类推可得.所以.若，由得.于是.所以.依次类推可得.所以.综上可知，数列中的每一项均为1. 8分（）首先证明不可能存在使得.若存在使得，则.又得与已知矛盾.所以不可能存在，.由此及()得数列的前三项的可能情况如下：(1)时，由（i）可得.于是.所以所有项的和.(2)时，此时与已知矛盾. (3) 时，.于是.故于是，于是，且.依次类推且恰是3的倍数满足题意.所以所有项的和 .同理可得及时，当且仅当恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和 . 综上，所有项的和或（是3的倍数）. 14分（若用其他方法解题，请酌情给分）