1、江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。一选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z1i，则|z22z|( )A0B1C.D22在平面直角坐标系xOy中，
2、已知(2，3)，(3，t)，|1，则( )A3B10C9D153ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b3，c2，cos(BC)，则a等于( )ABC4D4在ABC中，AB2，AC3，BAC，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为( )ABCD5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S，则C( )A B C D6若，(，)，且sin，sin()，则sin( )ABCD7已知|3，|2，若对于任意的实数m，不等式|m|恒成立，则cosBAC( )A B C D8已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A2B，则()2的最小值为( )A1 BC3D二选
3、择题:本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9下列命题为真命题的是( )A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，则i3iC若复数z1i，则z22iD若复数zi，则1zz2010如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )AAGEFH所在平面BAHEFH所在平面CEFAGH所在平面DHGAEF所在平面11给出下列命题，其中正确的选项有(
4、)A若非零向量a，b满足|ab|a|b|，则a与b共线且同向B若非零向量ab满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30C若单位向量的e1e2的夹角为60，则当|2e1te2| (tR)取最小值时，t1D在ABC中，若()0，则ABC为等腰三角形12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有( )AcacosBbcosAB若AB，则sin2Asin2BC若A30，a4，b6，则满足条件的三角形有两解D若ABC是钝角三角形，则tanAtanC1三填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13已知a(sin，4)，b(1，cos)，且ab，则sin22sin21
5、4已知函数f(x)2cos2(x)1，g(x)x3，设函数F(x)f(x)g(x)，则F(x)所有的零点之和为DCABMN15如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若12，1，2R，则的值为16向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论例如，在ABC中，若O为ABC的外心，则2EABO证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OEAB，则22|cosOAE2|(|cosOAE)222利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足ac且2bcosA3c，(ca)2b设O为A
6、BC的外心，若xy，x，yR，则x2y四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分17(本小题10分)已知复数z=bi(bR)，是实数，i是虚数单位(1) 求复数z；(2) 若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围18(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin13cos17sin215cos215sin15cos15sin218cos212sin18cos12sin2(18)cos248sin(18)cos48sin2(25)cos255sin(25)cos55(1)试从上述五个式子中选
7、择一个，求出这个常数(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论19(本小题12分)设向量a(3cosa，sina)，b(sinb，3cosb)，c(cosb，3sinb)(1)若a与bc垂直，求tan(ab)的值；(2)求|bc|的最小值；20(本小题12分)ABCDOMN如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC， OA平面ABCD， OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)画出平面AMN与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；(2)证明：直线MN|平面OCD ；(3)求异面直线AB与MD所成角的大小 21（本小题12
8、分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上设COBBDAO(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若COD，则当为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，CD和DA组成，若BCCD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值22（本小题12分）已知ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，cR为ABC外接圆半径(1)若R1，且满足sinBsinC(sin2Bsin2Csin2A)tanA，求b2c2的取值范围；(2)若b2c22aRco
9、sAa2，求tanAtanBtanC的最小值江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。一选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z1i，则|z22z|( )
10、A0B1C.D2答案：D2在平面直角坐标系xOy中，已知(2，3)，(3，t)，|1，则( )A3B10C9D15答案：D3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b3，c2，cos(BC)，则a等于( )ABC4D答案C4在ABC中，AB2，AC3，BAC，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为( )ABCD答案：D5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S，则C( )A B C D答案：A6若，(，)，且sin，sin()，则sin( )ABCD答案：B7已知|3，|2，若对于任意的实数m，不等式|m|恒成立，则cosBAC( )A B C D答案：C详解：
11、因为|3，|2，且关于m的不等式|m|恒成立，所以|2|m|2，所以9412cosBAC94m212mcosBAC，整理得m23mcosBAC3cosBAC10，所以9cos2BAC12cosBAC4(3cosBAC2)20，所以3cosBAC20，cosBAC8已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A2B，则()2的最小值为( )A1 BC3D答案：C解析：由正弦定理可知:()2()2()2cosA()2，又A2B，则2cos2B，()2()2，从而4cos2B1，又A2B，知AB3B，所以0B，则cosB1，可令tcosB，则()24t213，等号能取到二选择题:本题共4小题
12、，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9下列命题为真命题的是( )A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，则i3iC若复数z1i，则z22iD若复数zi，则1zz20答案：ACD10如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )AAGEFH所在平面BAHEFH所在平面CEFAGH所在平面DHGAEF所在平面答案：BC11给出下列命题，其中正确的选项有
13、( )A若非零向量a，b满足|ab|a|b|，则a与b共线且同向B若非零向量ab满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为30C若单位向量的e1e2的夹角为60，则当|2e1te2| (tR)取最小值时，t1D在ABC中，若()0，则ABC为等腰三角形答案：ABD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有( )AcacosBbcosAB若AB，则sin2Asin2BC若A30，a4，b6，则满足条件的三角形有两解D若ABC是钝角三角形，则tanAtanC1答案：ACD详解：对于A，作AB边上的高，在两个直角三角形中可知结论成立，故A正确；对于B，当A60，
14、B30时不满足，故B错误；对于C，由正弦定理得，则sinB，因为ba，故有两解，故C正确；对于D，在ABC中，tanBtan(AC)，则tanAtanC1，当ABC是钝角三角形，若A或C为钝角，则tanAtanC01，满足；若B为钝角，则tanAtanC10，即tanAtanC1，满足，故D正确三填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13已知a(sin，4)，b(1，cos)，且ab，则sin22sin2答案：14已知函数f(x)2cos2(x)1，g(x)x3，设函数F(x)f(x)g(x)，则F(x)所有的零点之和为DCABMN答案：015如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，
15、CD的中点，若12，1，2R，则的值为答案：16向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论例如，在ABC中，若O为ABC的外心，则2EABO证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OEAB，则22|cosOAE2|(|cosOAE)222利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足ac且2bcosA3c，(ca)2b设O为ABC的外心，若xy，x，yR，则x2y答案：2bcosA3c，即b2a22c2，由条件得cab，联立解得ac，bc，或a5c，b3c.又ac，所以a5c，b3c由xy
16、，得x2y，可得2x3y1同理，由xy，得xy2，可得x18y9解得x2y.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分17(本小题10分)已知复数z=bi(bR)，是实数，i是虚数单位(3) 求复数z；(4) 若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解：(1)i因为是实数，所以0，b2，故复数z2i.(2) (m+z)2=(m2i)2m242mi，所表示点在第一象限，所以m240，且2m0，所以m2.18(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin13cos17sin215cos215s
17、in15cos15sin218cos212sin18cos12sin2(18)cos248sin(18)cos48sin2(25)cos255sin(25)cos55(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式计算如下sin215cos15sin15cos151sin30 (2)三角恒等式：sin2cos2(30)sincos(30)证明：sin2cos2(30)sincos(30) sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin) sin2cos2sinc
18、ossin2sincossin2 sin2cos2 19(本小题12分)设向量a(3cosa，sina)，b(sinb，3cosb)，c(cosb，3sinb)(1)若a与bc垂直，求tan(ab)的值；(2)求|bc|的最小值；解:(1)bc(sinb，3cosb)(cosb，3sinb)(sinbcosb，3cosb3sinb)，因为a与bc垂直，所以a(bc)0，即3cosa( sinbcosb)sina(3cosb3sinb)3cosa sinb3cosacosb3sinacosb3sinasinb0，即sinacosbcosa sinbcosacosbsinasinb，从而sin(a
19、b)cos(ab)，所以tan(ab)1(2) bc(sinb，3cosb)(cosb，3sinb)(sinbcosb，3cosb3sinb)，所以(bc)2(sinbcosb)2(3cosb3sinb)21016sinbcosb108sin2b，当bk，kZ时(bc)2取最小值2，从而|bc|的最大值为20(本小题12分)ABCDOMN如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC， OA平面ABCD， OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)画出平面AMN与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；(2)证明：直线MN|平面OCD ；(3)求异面直线AB与MD所
20、成角的大小 解：(1)在平面ABCD内延长AN、DC交于点E，连结EO，直线EO为平面AMN与平面OCD的交线(2)证：在菱形ABCD中，AB|CD因为N是BC的中点，ABCDOMNE所以N是AE的中点在OAE中，M，N分别是OA和AE中点，所以MN|OE 又因为MN平面OCD，OE 平面OCD，所以MN|平面OCD(3) 在菱形ABCD中，AB|CD所以MDC(或其补角)是异面直线AB与MD所成的角连AC，MC，在菱形ABCD中，AB=BC=1，ABC，由余弦定理得，AC=因为OA平面ABCD，AC 平面ABCD，所以OAAC在RtMAC中，MA=1，AC=，所以MC=因为OA平面ABCD，
21、AD 平面ABCD，所以OAAD在RtMAD中，MA=1，AD=1，所以MD=在MCD中，MC=，MD=，CD=1，所以cosMDC，故MDC，所以 AB与MD所成角的大小为21（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上设COBBDAO(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若COD，则当为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，CD和DA组成，若BCCD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值解:(1)由图，SABCDSBOCSCO
22、DSDOA2sin2sin2sin()2sin()，因为COD，所以0，所以，故当，即时，绿植种植面积最大；(2)由题意可得，COBCOD，所以0，由余弦定理，BC2sin，DA2cos，l4sin2cos(0)，令tsin，则0t，l4sin2(12sin2)4t2(12t2)4(t)23，t，即时，l的最大值为322（本小题12分）已知ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，cR为ABC外接圆半径(1)若R1，且满足sinBsinC(sin2Bsin2Csin2A)tanA，求b2c2的取值范围；(2)若b2c22aRcosAa2，求tanAtanBtanC的最小值解：(1
23、)根据正弦定理2R，将sinBsinC(sin2Bsin2Csin2A)tanA转化为即sinA，又因A为锐角，所以A.b2c24sin2C4sin2B2cos2C2cos2B42cos(2B)2cos2B43cos2Bsin2B42cos(2B)4因为ABC是锐角三角形，所以，所以B，得2B，所以2cos(2B)442，7)故()的取值范围是42，7)(2)由题设得aRbc，根据正弦定理2R，所以sinA2sinBsinCsin(BC)2sinBsinCsinBcosCsinCcosB2sinBsinC，在锐角三角形ABC中cosBcosC0所以tanBtanC2tanBtanC又tanAtanBtanCtan(BC)tanBtanC(tanBtanC)(1)令tanBtanCt，因为tanAtan(BC)0所以t1则tanAtanBtanCt(1)t(1)ttt248当且仅当t4，即或时等号成立。