1、课时限时检测(七十)数学归纳法及其应用(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数学归纳法的原理1,2,3,74,5用数学归纳法证明等式10用数学归纳法证明不等式12综合应用86,9,11一、选择题(每小题5分，共30分)1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5D6【解析】令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得【答案】C2对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，
2、当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】在nk1时，没用nk时的假设，不是数学归纳法从nk到nk1的推理不正确【答案】D3(2014浏阳模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立【解析】相邻两个正奇数相差2，故D选项正确【答案】D4(2014山东师大附中模拟)用数学归纳法证明123n2，则当nk1
3、时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2【解析】当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123(k21)(k22)(k1)2，结合四个选项可知，D正确【答案】D5凸n多边形有f(n)条对角线则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2【解析】f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.【答案】C6(2014安庆模拟)已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c【解析】由于该等式对一切nN*
4、都成立，不妨取n1,2,3，则有解得a，bc.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7用数学归纳法证明1n(nN*，n1)时，第一步应验证的不等式是_【解析】当n2时，左边1.【答案】18设f(n)1(nN*)，则f(n1)f(n)_.【解析】f(n)1，f(n1)1.f(n1)f(n).【答案】9已知数列an满足a11，an1an1(nN*)，通过计算a1，a2，a3， a4，可猜想an_.【解析】a11，a2a11，a3a21，a4a31.猜想an.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.【证明】
5、(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.11(12分)(2014桂林质检)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明【解】(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(
6、a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由知Sn对任意的正整数n都成立12(13分)(2014烟台模拟)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式成立【解】(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时， ，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式成立