1、第 3 讲 平面向量1.(2016课标全国丙改编)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC_.答案 30解析|BA|1，|BC|1，cosABC BABC|BA|BC|32，ABC30.2.(2016山东改编)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13.若 n(tmn)，则实数 t 的值为_.答案 4解析 n(tmn)，n(tmn)0，即 tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得 t34|n|213|n|20，解得 t4.3.(2016天津改编)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连结 DE 并延长到点
2、 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为_.答案 18解析 如图所示，AFAD DF.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且 DE2EF，所以AD 12AB，DF DE EFDE 12DE32DE 34AC，所以AF12AB34AC.又BCACAB，则AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB 234AC 234ACAB34AC 212AB 214ACAB.又|AB|AC|1，BAC60，故AFBC341214111218.4.(2016浙江)已知向量 a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量 e，均有|ae|be|6，则ab 的最大值是_.答案 12解析 由已知可得：6
3、|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式对任意单位向量 e 都成立.6|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即 652ab，ab12.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题，难度中低档2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在
4、用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.例 1(1)设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _.(2)(2016课标全国乙改编)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，以向量AB，向量AC作为基底，则向量AD 可表示为_.答案(1)12(2)13AB43AC解析(1)因为 ab，所以 sin 2cos2，即 2sin cos cos2.因为 00，得 2sin cos，tan 12.(2)BC3CD，ACAB3(AD AC)，即 4ACAB3AD，AD 13AB43AC.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一
5、组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.跟踪演练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么以向量AB和向量AD 为基底，向量EF可表示为_.(2)在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AOABBC，则 _.答案(1)12AB23AD (2)23解析(1)在CEF 中，有EFECCF.因为点 E 为 DC 的中点，所以EC12DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以CF23CB.所以EF12DC 23CB12AB23DA
6、12AB23AD.(2)AD ABBD AB13BC，2AO AB13BC，即AO 12AB16BC.故 121623.热点二 平面向量的数量积1.数量积的定义：ab|a|b|cos.2.三个结论(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.例 2(1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD 的值是_.(2)若 bcos 12，
7、cos 512，|a|2|b|，且(3ab)b2，则向量 a，b 的夹角为_.答案(1)22(2)56解析(1)由CP3PD，得DP 14DC 14AB，APAD DP AD 14AB，BPAPABAD 14ABABAD 34AB.因为APBP2，所以(AD 14AB)(AD 34AB)2，即AD 212AD AB 316AB 22.又因为AD 225，AB 264，所以ABAD 22.(2)b2cos2 12cos2512cos2 12sin2 121，所以|b|1，|a|2.由(3ab)b2，可得 3abb22，故 ab 3，故 cosa，b ab|a|b|321 32.又a，b0，所以a
8、，b56.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.跟踪演练 2(1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的位置如图所示，则向量AD 在AB方向上的投影为_.(2)如图，在ABC 中，ABAC3，cosBAC13，DC 2BD，则AD BC的值为_.答案(1)55 (2)2解析(1)不妨以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得AD(2,3)，AB(4,2)，所以向量AD 在AB方向上的投影为AD AB|AB|22 5 55.(2)AD BC(A
9、CCD)BC(AC23CB)BCAC23(ABAC)BC(23AB13AC)(ACAB)23|AB 213ABAC13|AC 26132.热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.例 3 已知函数 f(x)2cos2x2 3sin xcos x(xR).(1)当 x0，2)时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c3，f(C)2，若向量 m(1，sinA)与向量 n(2，sin B)共线，求 a，b 的值.解(1)f(x
10、)2cos2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x12sin(2x6)1，令22k2x622k，kZ，解得 k3xk6，kZ，因为 x0，2)，所以 f(x)的单调递增区间为0，6.(2)由 f(C)2sin(2C6)12，得 sin(2C6)12，而 C(0，)，所以 2C6(6，136)，所以 2C656，解得 C3.因为向量 m(1，sin A)与向量 n(2，sin B)共线，所以sin Asin B12.由正弦定理得ab12，由余弦定理得 c2a2b22abcos3，即 a2b2ab9.联立，解得 a 3，b2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量
11、的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.跟踪演练 3 已知ABC 是锐角三角形，向量 mcosA3，sinA3，n()cos B，sin B，且 mn.(1)求 AB 的值；(2)若 cos B35，AC8，求 BC 的长.解(1)因为 mn，所以 mncosA3 cos BsinA3 sin BcosA3B 0，又 A，B0，2，所以A3B 6，56
12、，所以 A3B2，即 AB6.(2)因为 cos B35，B0，2，所以 sin B45，所以 sin AsinB6 sin Bcos6cos Bsin 645 32 35124 3310，由正弦定理，得 BCsin Asin BAC4 33104584 33.1.如图，在ABC 中，AD 13AB，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N，设ABa，ACb，用 a，b 表示向量AN，则AN_.押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础.答案 16(ab)解析 因为 DEBC，所以 DNBM，则ANDAMB，所以ANA
13、MADAB.因为AD 13AB，所以AN13AM.因为 M 为 BC 的中点，所以AM 12(ABAC)12(ab)，所以AN13AM 16(ab).2.如图，BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FD FE_.押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.答案 89解析 BF2FO，圆 O 的半径为 1，|FO|13，FD FE(FO OD)(FO OE)FO 2FO(OE OD)OD OE(13)20189.3.在ABC 中，AB(cos 32，cos 58)，BC(sin 60sin 118
14、，sin120sin 208)，则ABC的面积为_.押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点.答案 38解析|AB|cos232cos258 cos232sin2321，BC32 cos 28，32 sin 28，所以|BC|32 cos 28 2 32 sin 28 2 32.则ABBCcos 32 32 cos 28sin 32 32 sin 28 32(cos 32cos 28sin 32sin 28)32 cos(3228)32 cos 60 34，故 cosAB，BC ABBC|AB|BC|341 3212.又AB，BC0，18
15、0，所以AB，BC60，故 B180AB，BC18060120.故ABC 的面积为S12|AB|BC|sin B121 32 sin 12038.4.如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB60，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P，则OP BP的最小值是_.押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中.答案 116解析 因为OP OB BP，所以OP BP(OB BP)BPOB BPBP 2.又因为AOB60，OAOB，所以OBA60，OB1.所以OB BP|BP|cos 12012|BP|，所以OP BP12|B
16、P|BP|2(|BP|14)2 116 116，当且仅当|BP|14时，OP BP取得最小值 116.A 组 专题通关1.在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB，CD 13CACB，则 _.答案 23解析 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，AD 2DB，CD 13CACB，CD CAAD CA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，23.2.ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是_.|b|1;ab；ab1;(4ab)BC.答案 解析 在ABC 中，由BCACAB2ab2ab，得|b|2.又|a|1，
17、所以 ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)BC(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)BC.3.在等腰ABC 中，BAC90，ABAC2，BC2BD，AC3AE，则AD BE_.答案 43解析 由已知得到AD BE12(ABAC)(BA13AC)12AB 216ABAC 12AC BA16AC 2，ABC 是等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，所以AD BE122200162243.4.已知向量 a，b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_.答案 3解析 设 a 与 b 的夹角为，(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，1a
18、b86，ab1|a|b|cos，cos 12，又0，3.5.已知平面向量 a、b(a0，ab)满足|a|3，且 b 与 ba 的夹角为 30，则|b|的最大值为_.答案 6解析 令OA a，OB b，则 baOB OA AB，如图，b 与 ba 的夹角为 30，OBA30，|a|OA|3，由正弦定理|OA|sinOBA|OB|sinOAB得，|b|OB|6sinOAB6.6.若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 5AM AB3AC，则ABM 与ABC 的面积比值为_.答案 35解析 设 AB 的中点为 D，由 5AM AB3AC，得 3AM 3AC2AD 2AM，即 3CM 2MD.如
19、图所示，故 C，M，D 三点共线，且MD 35CD，也就是ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比值为35.7.设向量OA(5cos，4sin)，OB(2,0)，则|AB|的取值范围是_.答案 4,6解析 ABOB OA(3cos，4sin)，|AB|2(3cos)2(4sin)26cos 8sin 2610sin()26，其中 tan 34，16|AB|236，4|AB|6.8.设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积 ab(a1b1，a2b2)，已知向量 m(2，12)，n(3，0)，点 P(x，y)在 ysin x 的图象上运动，
20、Q 是函数 yf(x)图象上的点，且满足OQ mOP n(其中 O 为坐标原点)，则函数 yf(x)的值域是_.答案 12，12解析 令 Q(c，d)，由新的运算可得OQ mOP n(2x，12sin x)(3，0)(2x3，12sin x)，c2x3，d12sin x，消去 x 得 d12sin(12c6)，yf(x)12sin(12x6)，易知 yf(x)的值域是12，12.9.(2016遵义航天高中三模)已知函数 f(x)3sin xcos xsin2x12(xR).(1)当 x 12，512 时，求函数 f(x)的最小值和最大值；(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
21、b，c，且 c 3，f(C)2，若向量 m(1，a)与向量 n(2，b)共线，求 a，b 的值.解(1)函数 f(x)3sin xcos xsin2x12(xR)，f(x)32 sin 2x1cos 2x212 32 sin 2x12cos 2x1sin2x6 1.12x512，32x623，32 sin2x6 1，1 32 sin2x6 12，f(x)的最小值是 1 32，最大值是 2.(2)f(C)sin2C6 12，sin2C6 1，0C，62C6116，2C62，解得 C3.向量 m(1，a)与向量 n(2，b)共线，b2a0，即 b2a.由余弦定理得，c2a2b22abcos 3，即
22、 a2b2ab3.由得 a1，b2.10.已知向量 a(cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，其中0 x.(1)若 4，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2 的值.解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，4，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x 2(sin xcos x).令 tsin xcos x4x，则 2sin xcos xt21，且1t 2.
23、则 yt2 2t1t 22232，1t 2，t 22 时，ymin32，此时 sin xcos x 22，即 2sinx4 22，4x，2x454，x476，x1112.函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112.(2)a 与 b 的夹角为3，cos 3 ab|a|b|cos cos xsin sin xcos(x).0 x，0 x，x3.ac，cos(sin x2sin)sin(cos x2cos)0，sin(x)2sin 20，即 sin23 2sin 20.52sin 2 32 cos 20，tan 2 35.B 组 能力提高11.已知非零单位向量 a 与非零向量 b 满足|
24、ab|ab|，则向量 ba 在向量 a 上的投影为_.答案 1解析 因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，解得 ab0，所以向量 ba 在向量 a 上的投影为|ba|cosa，baaba|a|0|a|2|a|a|1.12.已知|OA|OB|2，且OA OB 1，若点 C 满足|OA CB|1，则|OC 的取值范围是_.答案 61，61解析 OA OB|OA|OB|cosOA，OB 1，cosOA，OB 12，OA，OB 3，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O(0,0)，A(2，0)，B(22，62)，令OP OA OB(3 22，62)，|OP 6
25、，|OA CB|OA OB OC|OP OC 1，则点 C 的运动轨迹是以点 P 为圆心，1 为半径的圆，而|OP 6，则|OC 的取值范围为 61，61.13.在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，ABC60，BC12AB2，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BEBC，DF 12DC，则AEBF的最小值为_.答案 4 613解析 由题意得 AB4，CD2，AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCBEBCABCFBECF|AB|BC|cos 120|BE|BC|AB|CF|BE|CF|cos 6042(12)224(1 12)22(1 12)2121364132644 6
26、13，当且仅当 63 时取等号，即AEBF的最小值为 4 613.14.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上.(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OP mABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值.解(1)方法一 PAPBPC0，又PAPBPC(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，63x0，63y0，解得x2，y2，即OP(2,2)，故|OP|2 2.方法二 PAPBPC0，则(OA OP)(OB OP)(OC OP)0，OP 13(OA OB OC)(2,2)，|OP|2 2.(2)OP mABnAC，(x，y)(m2n，2mn)，xm2n，y2mn，两式相减得，mnyx.令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为1.